Induktion

17.01.2009, 13:22

jonaz2

Induktion

Hallo ,wir haben hier ein Aufgabe zur Induktion bekommen zu der ich einige fragen habe.
Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} (1-a)^{n}\leq \frac{1}{1+na} mit 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray*}$
Habe den ersten Induktionsschritt gemacht mit A(1) und dann habe ich da stehen:
$\begin{eqnarray*} 1-a\leq \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$
Woher weiß ich jetzt das das wahr ist?

Beim Induktionsschluss habe ich dann mit äüßere Abschätzung rausbekommen das A(n) $\begin{eqnarray*} \forall n\geq -1 \end{eqnarray*}$ wahr ist. kann das überhaupt eine negative zahl sein? Weil in der Aufgabe stand kein Definitionsrahmen also, dass n immer eine natürliche zahl ist. Oder ist das immer so?

17.01.2009, 13:24

tmo

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RE: Induktion

Zitat:

Original von jonaz2
Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} (1-a)^{n}\leq \frac{1}{1+na} mit 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray*}$
Habe den ersten Induktionsschritt gemacht mit A(1) und dann habe ich da stehen:
$\begin{eqnarray*} 1-a\leq \frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$
Woher weiß ich jetzt das das wahr ist?

1. Das ist kein Induktionsschritt, sondern der Induktionsanfang.

2. Die Ungleichung ist sehr einfach einzusehen. Forme doch mal etwas um...

17.01.2009, 13:26

jonaz2

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Induktion
Soll ich die Aufgabe selbst oder den Induktionsanfang umformen?

17.01.2009, 13:27

tmo

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Die Aussage des Induktionsanfang sollst du etwas umformen.

17.01.2009, 13:29

jonaz2

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Induktion
ok habe ich gemacht und dann habe ich da stehen $\begin{eqnarray*} a^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ und das ist wahr! Richtig?

17.01.2009, 13:32

tmo

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Scheint als hättest du richtig umgeformt. Das ist richtig Freude

17.01.2009, 13:34

jonaz2

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Induktion
Und wie sieht es aus mit meiner zweiten frage hast du da auch ne Ahnung? :-)

17.01.2009, 13:41

tmo

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Zeige doch mal deinen Induktionsschritt.

Wenn du sowas wie $\begin{eqnarray*} (A(n) \Longrightarrow A(n+1)) \Longleftrightarrow n \geq -1 \end{eqnarray*}$ bewiesen hast, ist die Aufgabe gelöst, denn letzteres ist sicher wahr.

17.01.2009, 13:51

jonaz2

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Induktion
also A(n) /*(1-a)
dann hatte ich da stehen:
$\begin{eqnarray*} (1-a)^{n+1} \leq \frac{1-a}{1+na} \end{eqnarray*}$
dann äußere Abschätzung:Und dann bleibt noch zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-a}{1+na} \leq \frac{1}{1+na+a} \end{eqnarray*}$ und als letztes habe ich nach n aufgelöst und da kam dann mein ergebnis raus.

17.01.2009, 13:59

tmo

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Vom Prinzip her ist die Aufgabe damit gelöst, man kommt dann durch Äquivalenzumformungen auf $\begin{eqnarray*} a^2(n+1) \geq 0 \end{eqnarray*}$ (Du hast wohl noch weiter umgeformt zu $\begin{eqnarray*} n \geq -1 \end{eqnarray*}$ ), was offensichtlicht wahr ist.

Aber mir gefällt noch nicht ganz, wie das aufgeschrieben ist.

Der Induktionsschritt könnte so aussehen:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} (1-a)^{n+1} = (1-a)(1-a)^n \stackrel{IV}\leq \frac{1-a}{1+na} \leq \frac{1}{1+na+a} \end{eqnarray*}$

Die letzte Ungleichung beweist du dann seperat durch die Äquivalenzumformungen.

17.01.2009, 14:01

jonaz2

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Induktion
Ja ok hab das jetzt so gemacht wie unser lehrer uns das gezeigt hat.
Aber das ist ja schonmal super, dass die richti ist. Wir haben noch eine zweite Aufgabe bekommen kann ich dazu auch noch was fragen?

17.01.2009, 14:03

tmo

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Mache dazu im Sinne der besseren Übersicht einen zweiten Thread auf.

17.01.2009, 14:31

jonaz2

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Induktion
Ok habe neues Thema mit dem namen Induktion 2 gemacht.

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