Verallgemeinerung eines Problems

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kini Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerung eines Problems
Moin Leute, hat jemand 'ne Ahnung, wie man folgenedes Problem löst?

Berechnen Sie:



Lässt sich das Ergebnis verallgemeinern?


Wie man leicht erkennen kann, ist der ggT immer 1.

Schon mal vielen Dank für die Hilfe!
Gruß kini
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung eines Problems
Na jetzt will der Fragesteller vermutlich darauf hinaus eine Gesetzmäßigkeit zu erkennen, die besagt, dass für bestimmte Zahlenpaare der ggT immer 1 wird.

Was haben denn die Zahlen 2+1, 4+1 und 16+1 gemeinsam, d.h. in welcher Form kann man sie allgemein aufschreiben und vor allem: welches könnten die nächsten Zahlen in dieser Reihe sein?
 
 
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung eines Problems
Hallo,

sieht so aus, als wenn man sie so schreiben könnte:

aber der ggT muss ja immer 1 sein (kommt ja bei den Beispielen raus) ... da kenne ich mich nicht weiter mit aus. Das sind ja auch immer Primzahlen die da rauskommen ... gilt doch nicht für alle n?!

Naja, hoffe das hilft. smile

lg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung eines Problems
Darauf wird es wohl hinauslaufen - das sind die sogenannten Fermat-Zahlen, die natürlich auch Nichtprimzahlen enthalten.

Für den ggT solltest Du Dir nicht nur die Zahlen sondern auch anschauen. Mit ein paar Beispielen kannst Du dann vielleicht einen Zusammenhang erkennen., den man für den Beweis nutzen kann. Augenzwinkern
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung eines Problems
Hi, ich hab das mal berechnet smile



n = 0 ==> 3
n = 1 ==> 5
n = 2 ==> 17
n = 3 ==> 257
n = 4 ==> 65537
n = 5 ==> 4294967297

und



n = 0 ==> 1
n = 1 ==> 3
n = 2 ==> 15
n = 3 ==> 255
n = 4 ==> 65535
n = 5 ==> 4294967295

Den Zusammenhang sehe ich aber auch nicht, denn bei den Zahlen wo - 1 gerechet wird kommen ja nicht die Zahlen vor wie in den Beispielen.

Was beweist man da eigentlich? verwirrt ggT soll ja immer 1 sein und wenn das nicht nur Primzahlen sind dann kann es ja nicht sein oder?
So wie ich das verstanden hab sollen die Beispiele ja in einer allgemeinen Formel drin sein und das soll bewiesen werden ... oh je Hammer meine Gedanken ...
Naja, hoffe das hilft weiter

lg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung eines Problems
Da war ich wohl etwas schnell. Also zuerst ist es wichtig eine Vermutung zu haben, was jetzt die allgemeine Gesetzmäßigkeit ist. Das solltest Du erst mal ausformulieren - da kommen auch die noch nicht vor.

Danach beweist man das und dabei hilft es dann auch die zu betrachten, bzw. deren Primteiler.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Villeicht sollte man zur Anregung mal ein Zahlenbeispiel geben:



oder noch deutlicher, quasi als Wink mit dem Zaunpfahl:

kini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, schon mal "Danke" für eure Antworten...
also geht es darum, zu beweisen, dass zwei beliebige fermatsche Zahlen teilerfremd sind? Jede der Fermat-Zahlen ist ja ungerade und mit deinem zweiten Beispiel hast du ja eine Zahl geschrieben, in der eine 2 vorkommt.

Die ist ja der Form nach eine Fermat-Zahl mit n = 5 aber - 2 smile
Also wäre für deinen 2. Ausdruck die Formel möglich ... ?
Man könnte ja damit 2 unterschiedliche Fermatzahlen beschreiben, die sich also um 2 unterscheiden? Aber der Schritt zum Beweis fehlt mir noch ...
Ich hatte daran gedacht, weil ja jede Zahl ungerade ist, dass es vielleicht möglich ist zu zeigen, dass der ggT von 2 und einer Fermatzahl immer 1 ist ... ist das möglich?

Ich hoffe, ich bekomme noch ein paar mehr Tipps... smile

LG kini
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na denk mal an die Regel , die für beliebige ganze Zahlen gilt und auf der z.B. auch der euklidische Algorithmus beruht...
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hier kann man dann doch sagen, wenn man 2 von diesen Fermatzahlen und hat und ist, das dann also eine Zahl der Form teilt?
Oder verstehe ich das falsch? Ich meine damit, was Arthur Dent in seiner vorletzten Antwort geschrieben hat. smile
Mal sehen ob es richtig ist ... Wink
lg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flying997
hier kann man dann doch sagen, wenn man 2 von diesen Fermatzahlen und hat und ist, das dann also eine Zahl der Form teilt?

So ist es - womit dann mit einer geeigneten ganzen Zahl gemäß meines letzten Postings



folgt.
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr seid super Gott

Werde mich jetzt dann mal mit dem Beweis durch Induktion beschäftigen....!
LG
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