Geometrie-Problem

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kini Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie-Problem
Moin Leute, weiß jemand, wie mir bei diesem Problem geholfen werden kann:


Seien zwei Kreise K1 und K2 gegeben, die eine gemeinsame Sehne AB haben. Die Tangente durch A an K1 schneidet den Kreis K2 im Punkt S. Welche Relation besteht zwischen |AB| und |AS|?
Wie könnte man diese Aufgabe verallgemeinern?


Schon mal vielen Dank für die Hilfe!

LG kini
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrie-Problem
Wenn ich die Konstellation richtig verstanden habe, besteht kein Zusammenhang zwischen beiden Größen. Die Länge der Sehne hat keinen Einfluß auf den Radius von k2 und somit auch nicht auf die Länge von AS

[attach]9624[/attach]
Links - k1
Rechts - zwei mögliche Positionen für k2, die Länge der Sehne AB ist immer gleich, nicht aber die Länge der Sehnen AF, bzw.AI
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, vielen Dank für die Antwort...
So habe ich die Aufgabe auch verstanden.
Habe auch noch keine Relation zwischen den beiden gefunden, aber wenn es nun tatsächlich keine gibt, wie kann ich das dann beweisen und verallgemeinern?

Freu mich über weitere Antworten Augenzwinkern
LG kini
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Beweisen kannst Du das, indem Du Kreise angibst, bei denen bei fest vorgegebenem Abstand |AB| die Länge |AS| beliebig groß wird.
flying997 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also wenn ich mir das so angucke, dann bildet Kreis 2 ja immer einen Umkreis um die beiden Sehnen und die Verbindungssehne zwischen den beiden Sehnen AS und AB. Der Winkel im Punkt A, wo sich beide Sehne aus der Konstruktion treffen gibt ja dann die Beziehung:

a ist dann die Länge der Sehne zwischen Punkt B und S und r ist ja der Radius von Kreis 2 smile Wäre das nicht ein Zusammenhang?
Klingt ja auch allgemeiner als die eigentliche Aufgabe. verwirrt
Hoffe das hilft smile
lg
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich weiß jetzt, dass es auf jeden Fall eine Relation zwischen |AB| und |AS| gibt... Bis jetzt habe ich das Verhältnis aber noch nicht herausbekommen... Ich weiß auch, dass es wichtig ist, dass der Winkel zwischen Tangente und Radius von K1 90° beträgt. In der Verallgemeinerung geht es um die Analogie zwischen Kreis in der Ebene und Kugel im Raum. Das heißt dann ja, dass im Raum eine Ebene eine Kugel schneidet, also einen Kreis ausschneidet, hier müsste man dann das Verhältnis vom Kreis, der durch die Tangente(hier Ebene) in der Kugel 2 ausgeschnitten wird zum Kreis der von AB(hier Ebene) in der Kugel 1 ausgeschnitten wird untersuchen...
Vielleicht kann ja jetzt noch jemand was zum Verhältnis herausfinden! Brauche wirklich dringend Hilfe!

Vielen Dank!

LG kini
 
 
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt auch noch, dass es ein x gibt, so dass



und dass es nicht mit sin etc. zu tun hat, bei dem Beweis später geht es dann um die Kongruenz von Winkeln, angeblich soll die Relation offensichtlich sein, wichtig ist hier, dass es sich um eine Tangente handelt... Komm trotzdem nicht weiter, vielleicht bringt das ja aber jemanden von euch auf eine Idee.

Vielen Dank!
LG kini
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Na und? Klar gibt es so ein



Dann hast Du Deinen Wert. Der ist aber nicht fest, wie ich oben bereits geschrieben habe, sondern hängt z.B. von den Radien der Kreise ab und das kann man ja nicht wirklich als "in Relation stehen" bezeichnen. Einen offensichtlichen Zusammenhang sehe ich dabei auch nicht.

btw.: Das Verhältnis von |AB| und |BS| ist gleich dem Verhältnis der Radien von k1 und k2, aber das nur nebenbei.
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für deinen Hinweis Reksilat. smile

Habe auch etwas neues herausgefunden, und zwar
wobei die Verbindung zwischen den Mittelpunkten ist.

Das ist interessant, da ich dieses Verhältnis über einen Spezialfall und mit Hilfe des Strahlensatzes hergeleitet habe ... wie könnte man begründen, dass es immer noch gilt wenn die entsprechenden Seiten nicht mehr parallel sind?

Wenn übrigens die Verhältnisse zwischen den beiden Radien, |AB| und |AS|, und sowie |AB| und |AS| gleich sind liegt ein Sonderfall vor. Die Dreiecke und sind rechtwinklig. geschockt

Ob damit jemand auf weitere Ideen kommt? Ich hoffe. ... smile

lg kini
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ja, stimmt so. Zum Beweis der Gleichung betrachtet man die Dreiecke und , diese haben in der Ecke jeweils den gleichen Winkel. Dann verwendet man den Kosinussatz und die Beziehung


Ob man das als "Relation" zwischen den beiden Streckenlängen sehen kann, weiß ich nicht, aber es ist immerhin ein schönes Ergebnis Freude
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Ob man das als "Relation" zwischen den beiden Streckenlängen sehen kann,

Vor allem wenn man in genau dieser Formulierung danach fragt. Finger1

Da kann (und muss!) der Aufgabensteller ja eine Vielzahl von Antworten akzeptieren.
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, um damit zu arbeiten muss ich doch erst mal zeigen, dass die Winkel bei B die gleiche Größe haben, habe schon einiges versucht, um das irgendwie über kongruente Winkel herauszubekommen, habe es aber noch nicht geschafft! Kann mir da jemand helfen?
(Wie es dann weitergeht, denke ich weiß ich: Wenn ich das weiß, muss ich dann ja noch zeigen, dass sich die Dreiecke ähnlich sind und somit die gleichen Seitenverhältnisse haben...)

GlG kini
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst zeigst Du, dass die Dreiecke und ähnlich sind; das komplette Rüstzeug dazu findet sich hier. (Damit habe ich ja auch die erste Aussage oben bewiesen.)
Dann haben diese beiden Dreiecke in den gleichen Winkel und damit auch die zwei oben erwähnten Dreiecke und
[attach]9667[/attach]
kini Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, habe das Problem mittlerweile gelöst! Hoffe, dass auch meine Verallgemeinerung stimmt....

GlG kini
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