Regression mit Exponential und Log.

17.01.2009, 20:51

Ichigo

Regression mit Exponential und Log.

Hallo...

ich hätte hier folgende Frage:

Regressionsrechnung mit folgenden Werten:
x: 1, 5, 7, 10, 15
y: 5, 12, 14, 22, 38

Gesucht wird die Funktion: y= c*x hoch a; y= c*a hoch x und y= a* ln x + b

Wie ich auf die Funktion y= c*a hoch x komme ist mir klar, aber welche Formel wende ich bei den restlichen 2 an?

Rechnung bei: y= c*x hoch a ist:
19,0123a + 8,5660b = 26,1028
8,5660a + 5b = 13,4620

Ich würde nur gerne wissen wie sie hier auf die jeweiligen Berechnungen für a und b kommen... sonst ist es klar Augenzwinkern

Viiieeelen Dank smile

LG Carina

18.01.2009, 01:37

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Etwas genauer hättest du die Aufgabenstellung schon formulieren können:

Ich vermute mal, du sollst diese drei Funktionsansätze jeweils auf lineare Regression zurückführen.

Das ist zwar oft so gemeint, aber durchaus nicht so selbstverständlich, dass man das einfach weglässt - schließlich gibt es auch andere als lineare Regressionen! Bei den ersten beiden Ansätzen erreicht man das durch logarithmieren, der dritte ist direkt vom gewünschten Typ:

(1) $\begin{eqnarray*} y = c\cdot x^a \end{eqnarray*}$ , logarithmiert $\begin{eqnarray*} \ln(y) = \ln(c) + a\cdot \ln(x) \end{eqnarray*}$ :

D.h. lineare Regression mit Wertepaaren $\begin{eqnarray*} (\ln(x_i),\ln(y_i)) \end{eqnarray*}$ zur Berechnung von Anstieg $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Absolutglied $\begin{eqnarray*} \ln(c) \end{eqnarray*}$ .

(2) $\begin{eqnarray*} y = c\cdot a^x \end{eqnarray*}$ , logarithmiert $\begin{eqnarray*} \ln(y) = \ln(c) + \ln(a)\cdot x \end{eqnarray*}$ :

D.h. lineare Regression mit Wertepaaren $\begin{eqnarray*} (x_i,\ln(y_i)) \end{eqnarray*}$ zur Berechnung von Anstieg $\begin{eqnarray*} \ln(a) \end{eqnarray*}$ und Absolutglied $\begin{eqnarray*} \ln(c) \end{eqnarray*}$ .

(3) $\begin{eqnarray*} y = a\cdot \ln(x) + b \end{eqnarray*}$ :

D.h. lineare Regression mit Wertepaaren $\begin{eqnarray*} (\ln(x_i),y_i) \end{eqnarray*}$ zur Berechnung von Anstieg $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Absolutglied $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

18.01.2009, 15:43

Ichigo

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Vielen Dank du hast mir schon sehr geholfen!! Leider ist in der Angabe nichts von linear gestanden (darum bin ich selbst auch davon ausgegangen).. Original Angabe ist: Erstellen Sie unter Verwendung der Regressionsrechnung eine Funktion der Form: y= c*x hoch a etc...

Naja egal... hätte noch eeeeeeiiiiineeee letzte Frage Augenzwinkern

Mir fehlt noch wie ich auf einen Wert komme.. für y= c*x hoch a:

..... (fehlt mir) a + ln(x) b = Summe von ln(x)* ln(y)
ln(x) a + nb = ln(y)

damit ich mit den 2 Gleichungen auf die Werte a + b für die Standardformel komme... aber mir fehlt leider der erste Wert in der ersten Gleichung.... wäre echt nett wenn mir noch wer helfen könnte *liebschau*

Danke,
lG Carina

(PS: ich weiß ich kanns nicht sehr gut erklären *grins* - trotzdem Danke)

18.01.2009, 16:05

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Zitat:

Original von Ichigo
(PS: ich weiß ich kanns nicht sehr gut erklären

Das kannst du laut sagen, das ist die reinste Katastrophe. unglücklich

Ich hole mal weiter aus: Für die lineare Regression $\begin{eqnarray*} v = ru + s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegebenen Wertepaaren $\begin{eqnarray*} (u_i,v_i) \end{eqnarray*}$ und gesuchten Parametern $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ ergibt sich gemäß Methode der kleinsten Quadrate das 2x2-Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_i u_i^2 \right) \cdot r + \left( \sum_i u_i \right) \cdot s &=& \sum_i u_iv_i\\ \left( \sum_i u_i \right) \cdot r + n \cdot s &=& \sum_i v_i \end{eqnarray*}$

zur Bestimmung der optimalen Parameter $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ .

Das ist beim angesprochenen Punkt (1) oben haargenau so, indem du wie oben angegeben $\begin{eqnarray*} u_i=\ln(x_i),v_i=\ln(y_i) \end{eqnarray*}$ mit den gesuchten Parametern $\begin{eqnarray*} r=a,s=\ln(c) \end{eqnarray*}$ einsetzt.

18.01.2009, 16:53

Ichigo

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Danke Danke Danke smile

JETZT kenn ich mich aus *freu*

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