randwertproblem, differenzialgleichung,diskretisieren |
| 18.01.2009, 11:00 | student75 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| randwertproblem, differenzialgleichung,diskretisieren y''(t) = f(t, y(t)), t \in [a, b], (1a) y(a) = \alpha , y(b) = \beta, (1b) soll numerisch moeglichst effizient geloest werden. Dazu wird zunaechst ein equidistantes Gitter deltah := {t_{i} = a + ih, i = 0, 1, . . . ,N, h = (b-a)/N} eingefuehrt und die obige Gleichung wie folgt diskretisiert.Sei y_{i} =(geschwungen) y(t_{i}), dann lautet das diskrete Schema fuer den unbekannten Vektor Y_{h} := (y_{1}, y_{2}, . . . , y_{N-1}) ^T (transponiert), F_{h}(Y_{h})_{i} := (-y_{i-1} + 2y_{i} - y_{i+1})/h^2 - f(t_{i}, y_{i}) = 0, i = 1, 2, . . . ,N-1, (2a) y0 =\alpha , yN = \beta. (2b) Schreiben Sie dieses Schema in Form eines nichtlinearen Gleichungssystems fuer Yh um, F_{h}(Y_{h}) = 0. (3) Dieses System wird mit Hilfe des Newton Verfahrens geloest. Dazu linearisieren Sie (3) und leiten Sie die Gestalt der Koeffizientenmatrix L_{h} in dem sich aus der Linearisierung ergebenden linearen Gleichungssystem. Dazu nehmen Sie an, dass die aktuelle Naeherung fuer Y_{h} mit Y_{h}^k gegeben ist. wäre nett wenn mir jemand ansätze dazu bzw. die loesung schreibt. (am besten auch ein bsp dazu). danke im voraus, mfg student75 |
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