Matrixrang und Gauß -- kurze Frage

18.01.2009, 13:33	SarahS	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixrang und Gauß -- kurze Frage Hallo alle, ich habe ein paar Probleme damit, den Rang einer Matrix zu bestimmen. Dazu würde ich gerne die Zeilenstufenform verwenden. Soweit ich weiß, erreicht man diese durch das Gauß'sche Eliminationsverfahren (hatte ich in der Schule nie). Ich würde mein Problem gerne an folgender Matrix erläutern: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 &2 &4 & 9\\<br /> 2 &4 &2 &-2\\<br /> 7 &14 &10 &3<br /> \end{pmatrix}<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Durch addieren von -2I zu II und dann Addition von -7I zu III komme ich zu $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 &2 &4 & 9\\<br /> 0 &0 &-6 &-20\\<br /> 0 &0 &-18 &-60<br /> \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Hier kommt meine erste Frage: Nun wäre doch eigentlich die Stufenform erfüllt, oder nicht? Soweit ich weiss, ist sie es, wenn das Nullendreieck unten links in der Matrix existiert und das ist ja gegeben (obwohl es hier durch a_22 = 0 wie ein Nullenviereck aussieht). Wie man aber unschwer sieht, kann man ja die zweite Zeile (dreimal genommen) von von der dritten abziehen und es ergibt sich $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 &2 &4 & 9\\<br /> 0 &0 &-6 &-20\\<br /> 0 &0 &0&0<br /> \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Wodurch ich den Rang der Matrix einfach ablesen kann: Rng(A)=2. Wieso ist die Stufenform aber erst jetzt beendet und nicht vorher (dann wäre der Rang ja 3)? Und noch eine wichtige Frage habe ich: Rng(A)=2 besagt ja, dass zwei (Spalten-)vektoren linear unabhängig sind. Woher weiss ich aber nun, welche der drei es genau sind (um z.B. einen zusätzlichen Spaltenvektor durch die unabhängigen ausdrücken zu können)? Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar. Viele Grüße Sarah
18.01.2009, 15:35	HoffeEsHilft	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine Matrix kannst du dir immer wie ein Gleichungssystem vorstellen, welches nur die Koeffizienten, also die Faktoren vor den eigentlichen Variablen beinhaltet. Also z.B. bei deiner Matrix: 1a + 2b + 4c + 9d = 0 2a + 4b + 2c -2d = 0 7a + 14b +10c + 3d = 0 Wenn du nun durch das Umformen auf eine Nullzeile kommst, dann bedeutet das eigentlich nur, dass eine Zeile gleich der anderen ist. Also bei deinem Beispiel ist Zeile 2 = Zeile 3. Der Rang der Matrix ist dann die Anzahl der Zeilen, wenn die Matrix in reduzierter Stufenform ist, also wenn alle "unnötigen" bzw. gleichen Zeilen aus der Matrix verschwunden sind und nach Möglichkeit zu jedem Koeffizienten schon eine Lösung gefunden wurde. In deinem Beispiel gibt es mehrere mögliche Lösungen, da du weniger Zeilen als Variablen hast. Nun zur Unabhängigkeit: Deine Matrix hat in reduzierter Stufenform 2 Zeilen. Die erste Zeile hat sich bisher nicht geändert, d.h. das ist schonmal der erste Vektor von deinen Beiden linear unabhängigen. Dann fiel die dritte Zeile weg, weil sie dividiert durch 3 gleich der zweiten wahr, d.h. die dritte Zeile ist durch die zweite darstellbar. Da aber bei der Zeilenanzahl = 2 schluss ist, du also nicht weiter vereinfachen kannst, kannst du Zeile 2 nicht durch Zeile 1 darstellen (bzw. umgekehrt) und darum müssen diese beiden doch linear unabhängig sein.
19.01.2009, 11:28	SarahS	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank! Weiss jemand, wo ich so etwas noch üben könnte? Einfach die Umformung in die Dreiecksform und dann den Rang bestimmen.
19.01.2009, 11:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, gib dir eine Matrix selbst vor. Mit den Mathetools kannst du dann deine Lösung überprüfen lassen.

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