QR-Zerlegung mit HH

18.01.2009, 15:14

Bjoern1982

QR-Zerlegung mit HH

Hallo,

auch hier bitte ich mal um die Kontrolle der QR-Zerlegung mittels HH-Transformationen.
Allerdings geht es bei dieser AUfgabe nur um die erste Iteration, also um die Bestimmung der HH-Matrix Q_1 und der expliziten Angabe von Q_1A:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 15 & 12 \\ 0 & 9 & 3 \\ 1 & 12 & 6 \\ 2 & -3 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{(1)}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u^{(1)}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta^{(1)}= \frac{2}{5^2+1^2+2^2}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_1=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 25 & 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 1 & 2 \\ 10 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q_1=I_4-\frac{1}{15} \cdot \begin{pmatrix} 25 & 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 1 & 2 \\ 10 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}=\frac{1}{15} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 0 & -5 & -10 \\ 0 & 15 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 14 & -2 \\ -10 & 0 & -2 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q_1 \cdot A=\frac{1}{15} \cdot \begin{pmatrix} -10 & 0 & -5 & -10 \\ 0 & 15 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 14 & -2 \\ -10 & 0 & -2 & 11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 15 & 12 \\ 0 & 9 & 3 \\ 1 & 12 & 6 \\ 2 & -3 & -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & -12 & -6 \\ 0 & 9 & 3 \\ 0 & 6.6 & 2.4 \\ 0 & -13.8 & -13.2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.01.2009, 19:10

tigerbine

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RE: QR-Zerlegung mit HH
Freude

code:

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>> QRmitH
Es wird eine QR-Zerlegung mit Householder berechnet.
====================================================
---------------------------
| H=I-ß*uu^T              |
| u=x+sign(x1)*||x||_2*e1 |
| ß=2/(u^Tu)              |
---------------------------
 
Matrix A eingeben: [2,15,12;0,9,3;1,12,6;2,-3,-6]
A0 =
     2    15    12
     0     9     3
     1    12     6
     2    -3    -6
 
Durchgang 1 
================
x =
     2
     0
     1
     2
signx =
     1
e1 =
     1
     0
     0
     0
u =
     5
     0
     1
     2
beta =
    0.0667
 
H =
   -0.6667         0   -0.3333   -0.6667
         0    1.0000         0         0
   -0.3333         0    0.9333   -0.1333
   -0.6667         0   -0.1333    0.7333
Qk =
   -0.6667         0   -0.3333   -0.6667
         0    1.0000         0         0
   -0.3333         0    0.9333   -0.1333
   -0.6667         0   -0.1333    0.7333
Ak =
   -3.0000  -12.0000   -6.0000
         0    9.0000    3.0000
    0.0000    6.6000    2.4000
    0.0000  -13.8000  -13.2000

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