Quadratische Gleichung - "Komplexe" Lösung.

18.01.2009, 22:27	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichung - "Komplexe" Lösung. Guten Abend, ich stehe hier vor einer Aufgabe bei der ich nicht recht weiterkomme: $\begin{eqnarray} z^{2} + 2z + i = 0 \end{eqnarray}$ Ich soll dabei die Lösungsmenge in C angeben. Das Problem ist aber, dass auch der Weg eingeschränkt ist. So soll ich die Lösung über die "Polarkoordinatendarstellung" entwickeln. Diese ist mir zwar geläufig, jedoch weiß ich nicht wie ich da rangehen soll? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Vielen Dank. gruß
19.01.2009, 10:43	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit quadratischer Ergänzung folgt ja leicht $\begin{eqnarray} z^2+2z+1=(z+1)^2=1-i \end{eqnarray}$ Schreibe letzteren Ausdruck in Polarkoordinatenform und überlege dir, was z+1 für Werte haben kann.
19.01.2009, 13:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man darf auch die quadratische Gleichung mit der p-q - Formel "normal" lösen: $\begin{eqnarray} z_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {(\frac{p}{2}^2) - q} \end{eqnarray}$ p = 2, q = i Die Wurzel ermittelt man dann wie o.a. über die Polardarstellung. mY+
20.01.2009, 00:07	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank euch beiden erstmal für die hilfreichen Ansätze. Irgendwie war das aber nicht ganz das, auf was ich hinauswollte: (eventuell war das Beispiel einfach nicht gut gewählt). Beispiel 2: $\begin{eqnarray} z^{3} = i \end{eqnarray}$ Der Lösungsweg soll in etwa so starten: $\begin{eqnarray} z = \mid z \mid ( cos (a) + i sin (a)) \end{eqnarray}$ Ziel ist es anscheinend, Werte für a zu finden, die diese Bedingung erfüllen. Ich hoffe ihr könnt mir nochmal helfen. Vielen Dank. Gruß
20.01.2009, 12:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht so, wie schon gesagt wurde, über die Polarform. Die Polarform, also die Schreibweise der komplexen Zahl mit Betrag und Winkel findet ihre Entsprechung sowohl in der Exponentialdarstellung, als auch in der trigonometrischen Form: $\begin{eqnarray} z = r \cdot e^{i\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi) \ \ ... \ \ r = \|z\| \end{eqnarray}$ Wenn du mit der trigonometrischen Form weitermachen willst, kommt der Satz von Moivre zur Anwendung, welcher direkt aus den Potenzgesetzen ableitbar ist: $\begin{eqnarray} z^n = r^n \cdot e^{(n \varphi)i} = r^n \cdot (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) \end{eqnarray}$ Das gilt auch für gebrochene Exponenten, insbesondere für $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[n]z = z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n] r \cdot e^{\frac{i \varphi}{n}} = \sqrt[n] r \cdot (\cos \frac{\varphi}{n} + i \sin \frac{\varphi}{n}) \end{eqnarray}$ Zum Ende haben wir noch die Vielfachen der Winkel bzw. die Periodizität der Winkelfunktion zu berücksichtigen, d.h. es müssen zu dem Winkel Vielfache von $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ addiert werden: $\begin{eqnarray} \varphi \to \varphi + 2k \pi \ \text{mit} \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Bei der n-ten Wurzel wird also aus dem Betrag die n-te Wurzel gezogen und der Winkel plus der Vielfachen durch n geteilt: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]z = z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n] r \cdot e^{\frac{i (\varphi + 2k \pi)}{n}} = \sqrt[n] r \cdot (\cos \frac{(\varphi + 2k \pi)}{n} + i \sin \frac{(\varphi + 2k \pi)}{n}) \end{eqnarray}$ Dazu lassen wir die k nur von 0 bis (n-1) gehen, denn danach ist ein Durchlauf aller möglichen Winkel (innerhalb aller 4 Quadranten) erreicht. $\begin{eqnarray} \sqrt[n]z = z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n] r \cdot e^{i(\frac{\varphi}{n} + k \frac{2 \pi}{n})} = \sqrt[n] r \cdot (\cos (\frac{\varphi}{n} + k \frac{2 \pi}{n}) + i \sin (\frac{\varphi}{n} + k \frac{2 \pi}{n})) \ \text{mit} \ \ k = 0, \ 1, \ 2, \ ..., \ n-1 \end{eqnarray}$ _________________________________________________________________ Damit können Gleichungen der Form $\begin{eqnarray} x^n = z \end{eqnarray}$ , welche auch als Kreisteilungsgleichungen bezeichnet werden, mittels $\begin{eqnarray} x = \sqrt[n] z \end{eqnarray}$ auf o.a. Weg gelöst werden. mY+
20.01.2009, 22:13	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, Vielen Dank für die sehr ausführlichen Erläuterungen. Hat mir sehr weitergeholfen. Gruß
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