Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression

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goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Aufgabe Bestimmung des Erdradius
Für verschiedene Augenhöhen Ah über dem Merresspiegel wurden bei ruhiger See die zugehörige Horizontenweiten Hw gemessen. Man soll mit Hilfe des Satzes von Pythagoras eine Gleichung aufstellen, die Ah, Hw und den Erdradius R verknüpft und gleich in die Form f(Hw, Ah)=R*Ah bringen.

Habe ich getan:


1. Nun soll ein Modell der linearen Regression, in dem der Koeffizient R geschätzt werden kann, entworfen werden.
2. Bestimmen Sie den Kleinst-Quadrate-Schätzer für R.

Wie mache ich das bzw. wie gehe ich das Problem an? Vielen Dank
Zahlenschubser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Du schreibst f(Hw, Ah)=R*Ah, das ist aber keine Funktion von Hw, somit auch nicht falsch, aber zumindest nur bedingt sinnvoll.

Ich kann deine Gleichung, die du angeschrieben hast, nicht ganz nachvollziehen. Ein kurze Erläuterung wäre nett. Grundsätzlich zum Schätzen:

1. Lnearisieren, in diesem Fall liegt der Logarithmus auf der Hand

2. Minimierungsproblem formulieren, also Minimierung der Fehlerquadrate

3. Ableiten, Null Setzen und Auflösen
goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Also, es sind mir 100 Messwertpaare (Ah, Hw) gegeben, die ich mit obiger Interpretation auswerten soll, so dass ich den Erdradius R schätzen kann.
Zu der Funktionsgleichung:

Erdradius^2+Horizontweite^2=(Erdradius+Augenhöhe)^2
Da die Funktionsgleichung in der Form f(Hw,Ah) = R*Ah lauten soll, habe ich demnach in diesen schon erwähnten Ausdruck umgeformt.

Wenn ich anhand der Daten eine lineare Regressionsgleichung erstelle, kann ich nur den linearen Zusammenhang zwischen Augenhöhe und Horizontweite erkennen. Aber wie schätze ich den Erdradius R ab? Danke
Zahlenschubser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Ausgehend von deiner Gleichung ist die einzige unbekannte Variable ? Dann brauchst du noch nicht einmal zu Logarithmieren, sondern kannst sofort die Gleichung schätzen.

Allgemein ist ein einfaches lineares Regressionsmodell: . Die Intention ist die Schätzung der Parameter zu den gegebenen Daten unter Minimierung der Quadratsumme der Residuen .

In deinem Fall, ohne mich mit der Physik auseinandergesetzt zu haben, ist , also handelt es sich um eine homogene Funktion, die durch den Ursprung gehen soll. Ich würde übrigens grundsätzlich vorschlagen, dass du deine Datenpunkte in einem Streudiagramm zeichnest, um dir einen Eindruck zu verschaffen.

Das ist die linke Seite deiner Gleichung, ist und ist . In Matrizenschreibweise lautet der Schätzer für : .
goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Vielen Dank.
Ich habe die 100 Datenpaare graphisch dargestellt. Es ist ein eindeutige Punktwolke in Form einer linearen Funktion y=mx+n.
Ich erhalte dann eine Funktionsgleichung f(x) = 785,54803 * x + 3708,533204
Ist die Steigung mein Erdradius?
Zahlenschubser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Ja, grundsätzlich schon. Aber es fängt an, dass man in der Physik immer zuerst die Einheiten durchrechnen sollte. In was ist der Radius angegeben? Kilometer? Newton? smile Außerdem müsste theoretisch der Achsenabschnitt gleich null sein!
 
 
goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Meine Einheiten waren in Meter angegeben. Heißt das, dass mein Radius kein 800 Meter beträgt?
Zahlenschubser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Der Radius der Erde beträgt mit Sicherheit mehr als 2 Stadionrunden!

Ich kann dir aber nicht sagen, wo dein Fehler liegt ohne deine Formel verstanden zu haben. Wenn du die mal herleiten könntest?
goldnerbagger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinst-Quadrate Schätzer lineare Regression
Vielen Dank. Habe jetzt alles richtig heraus. Radius stimmt auch.
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