Gleichverteilung

19.01.2009, 12:14	anna88	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichverteilung $\begin{eqnarray} P^X \end{eqnarray}$ sei die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} [0, 2\pi] \end{eqnarray}$ , und es seien $\begin{eqnarray} U = cosX \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} V = sinX \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie: a) $\begin{eqnarray} P(-r \leq U \leq r), 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray}$ ; b) $\begin{eqnarray} P((U - 1)^2 + V^2\leq r^2) \end{eqnarray}$ ; c) $\begin{eqnarray} P(\|U\| \leq \|V\|) \end{eqnarray}$ . Ich muss diese Aufgabe bis morgen lösen und zwar vollständig richtig um meine Zulassung zur Klausur zur bekommen! Deswegen benötige ich sehr dringend eure Hilfe! Leider war ich zudem die letzten knapp 2 Wochen krank im Bett (Grippewelle sei dank) und hab nicht allzu viel aus den Vorlesungen mitbekommen. Ich schreib einfach mal auf was ich mir überlegt habe, aber ich glaube das ist total falsch. a) das ist dann doch $\begin{eqnarray} P(-1 \leq Cos X \leq 1)=1 \end{eqnarray}$ oder nicht? cos ist die x-Komponente und im Einheitskreis kann diese nur im Intervall zwischen $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ liegen b) $\begin{eqnarray} P((U - 1)^2 + V^2\leq r^2) = P(( cos x-1)^2+sin x \leq1) = P (Cos^2 x-2cos x + sin x \leq 1) \end{eqnarray}$ weiter weiß ich leider nicht c) $\begin{eqnarray} P(\|U\| \leq \|V\|) = P(\|cos x\| \leq \|sin x\|) = P(1 \leq \frac{\|sin x\|}{\|cos x\|}=\|tan x\|) \end{eqnarray}$ und das gilt für $\begin{eqnarray} -\pi/4 \leq \pi/4 \end{eqnarray}$ also auf einem Intervall der Länge $\begin{eqnarray} \pi/2 \end{eqnarray}$ und da das ganze Intervall $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ lang ist ist $\begin{eqnarray} P(...)=1/4 \end{eqnarray}$ Stimmt da zumindest irgend etwas von?
19.01.2009, 12:47	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst doch bestimmte Integrale lösen... dazu musst du dann substituieren, um die Gleichverteilung zu nutzen.
19.01.2009, 13:33	anna88	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso Integrale? Kannst du mir nich mal nen Ansatz zeigen?
19.01.2009, 17:31	anna88	Auf diesen Beitrag antworten »
BItte bitte! Wenn ich die Aufgabe nicht hinbekomme wars das für mich! Meine anderen 3 Aufgaben konnte ich noch hinbekommen, aber diese...keine Ahnung
19.01.2009, 18:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo ist bei dir in a) das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ geblieben? Mit Integralen sehe ich hier eigentlich noch nichts. Oder sagen wir so: Es geht ohne sie. Daß $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gleichverteilt ist, heißt ja $\begin{eqnarray} P(a \leq X \leq b) = \frac{\mbox{Länge des Intervalls} \ [a,b]}{\text{Gesamtlänge}} \ \ \mbox{für} \ \ 0 \leq a \leq b \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ Und der Rest ist höhere Schulmathematik. Betrachte ein $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq 1 \end{eqnarray}$ und forme um: $\begin{eqnarray} -r \leq U \leq r \ \ \Leftrightarrow \ \ -r \leq \cos X \leq r \end{eqnarray}$ Jetzt zeichne den Graphen der Cosinuskurve im Intervall $\begin{eqnarray} [0,2 \pi] \end{eqnarray}$ . Für welche $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gilt die letzte Ungleichung? Skizziere dazu das Intervall $\begin{eqnarray} [-r,r] \end{eqnarray}$ auf der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse und zeichne Parallelen zur $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse durch die Randpunkte des Intervalls. Du erhältst die disjunkte (?) Vereinigung zweier Intervalle auf der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse als Lösungsintervalle der Ungleichung. Dann verwende die Additivität der Wahrscheinlichkeit und die Formel vom Eingang meines Beitrags. Das Ganze hat wohl mehr damit zu tun, daß man mit den trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrungen umgehen kann, als mit Wahrscheinlichkeitsrechnung.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »