Eigenwerte und Eigenvektoren

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19.01.2009, 13:11	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenvektoren Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 6 & 6 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die reellen Eigenwerte von A und Basen für die dazugehörigen Eigenräume. Ist A über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ diagonalisierbar? Um den Eigenwert der Matrix zu bestimmen muss ich zunächst folgende Determinante bestimmen: $\begin{eqnarray} det_n(X\cdot En-A)=\begin{pmatrix} X-1 & -2 & 0 \\ -2 & X-1 & 1 \\ -6 & -6 & X+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich erhalte das charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray} X^3-X=0 \end{eqnarray}$ Woraus ich folgende Eigenwerte bekomme: $\begin{eqnarray} X_1=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_2=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_3=-1 \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Nun muss ich die Basen für die Eigenräume bestimmen, welches ja die Eigenvektoren sind. Nun bekomme ich für den Eigenwert $\begin{eqnarray} X=0 \end{eqnarray}$ den Eigenvektor $\begin{eqnarray} x=t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus. Kann das richtig sein?
19.01.2009, 13:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
19.01.2009, 14:28	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren cool, danke. Sind die anderen Eigenvektoren: Für $\begin{eqnarray} X=1 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} x_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann wäre die Basis meines Eigenraums: $\begin{eqnarray} E=<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ oder?
19.01.2009, 14:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren 1 und -1 sind verschiedene Eigenwerte. Da habe ich andere Vektoren raus.
19.01.2009, 14:44	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Ja, ich weiß nicht was ich da gemacht habe Kriege zumindest jetzt für: $\begin{eqnarray} X_2=1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x=t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_3=-1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x=t\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ja und die Basis besteht aus diesen drei Eigenvektoren, würde ich sagen.
19.01.2009, 14:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren passt
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19.01.2009, 14:51	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Nun ist die Frage, ob die Matrix A diagonalisierbar ist. Was muss ich hierfür tun um zu sehen ob die Matrix diagonalisierbar ist?
19.01.2009, 14:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Zerfällt das char. Poly in Linearfaktoren? Stimmen alg. und geometrische Vielfachheiten überein?
19.01.2009, 17:11	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Ja das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren: $\begin{eqnarray} X(X-1)(X+1)=0 \end{eqnarray}$ Algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen auch überein. Sind das die beiden Kriterien dafür, dass eine Matrix diagonalisierbar ist?
19.01.2009, 17:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Genau das sind sie. Kannst du zum Beispiel im Fischer schön nachlesen.
19.01.2009, 17:43	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Danke für den Hinweis, das Buch habe ich auch zuhause und werd es mir heute Abend durchlesen. Noch ne Frage, wenn es also ein charakteristisches Polynom mit doppelter Nullstelle gibt, dann ist die Matrix nicht diagonalisierbar oder? Weil die geometrische und algebraische Vielfachheit nicht miteinander übereinstimmt, würde ich sagen. In Linearfaktoren kann man sie ja trotzdem zerlegen.
19.01.2009, 17:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Das kommt eben darauf an, ob der Eigenraum die Dimension 1 oder 2 hat. Es kann schon sein, dass die Matrix diagonalisierbar ist.
19.01.2009, 17:57	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Ok, dann kannst du es mir ja Mal an diesem Beispiel erläutern: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat die Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda_1=2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_2=2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_3=-2 \end{eqnarray}$ In Wikipedia steht jetzt, dass es zu diesem Vektor nur einen linear unabhängigen Eigenvektor gibt und deswegen die gemoetrische Vielfachheit 1 ist, was dazu führt dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Das ist mir klar, aber mir fällt es gerade schwer ein Beispiel zu finden wo ein Eigenwert mit Vielfachheit 2, 2 linear unabhängige Eigenvektoren hat. Hast du da ein Beispiel für mich?
19.01.2009, 18:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 &1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.01.2009, 18:20	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Die Eigenvektoren hiervon sind: $\begin{eqnarray} X_1=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_2=-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_3=-1 \end{eqnarray}$ Der Eigenvektor von $\begin{eqnarray} x_2=-1 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} x=t\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also sozusagen eine Ebene mit 2 linear unabhängigen Vektoren womit die geometrische Vielfachheit auch 2 wäre und diese dann mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt. Stimmts?
19.01.2009, 18:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren ich hab [0,0,1]^T als zweiten Eigenvektor.
19.01.2009, 18:27	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Hast natürlich recht. Aber stimmt denn meine Begründung?
19.01.2009, 18:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Die stimmt
19.01.2009, 18:31	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Super, hab viel von dir gelernt. Dankeschön
19.01.2009, 21:37	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Habe nochmal ne Frage, habe grade was zur Trigonalisierung gelesen: Habe ich das richtig verstanden, dass es für eine trigonalisierbare Matrix reicht, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt?
19.01.2009, 21:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren ja.
19.01.2009, 21:46	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren Super, dann hätte ich das jetzt auch verstanden.

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