Charakteristische Polynom

19.01.2009, 16:15	joopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristische Polynom hi leute, könnt ihr mir bei einer aufgabe helfen? sei $\begin{eqnarray} V \subset M(2,K) \end{eqnarray}$ der untervektorraum aller matrizen A mit $\begin{eqnarray} SpurTr(A)=0 \end{eqnarray}$ . wir haben den endormorphismus $\begin{eqnarray} f:V->V,A->A^t \end{eqnarray}$ . ich soll das Charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} X_f(T)\in K[T] \end{eqnarray}$ berechnen und herausfinden, ob $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ trigonalisierbar oder diagonalisierbar ist, ich soll dabei auch den fall $\begin{eqnarray} char(K)=2 \end{eqnarray}$ berücksichtigen. könnt ihr mir helfen
19.01.2009, 18:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Charakteristische Polynom Zur Berechnung des charakteristischen Polynoms benötigst Du zuerst mal eine Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und für diese ist es notwendig den Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ etwas genauer zu studieren. Das sollte nicht so schwer sein, denn $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist ein ganz normaler Vektorraum und die Charakteristik des Körpers ist hier vorerst noch nicht von Bedeutung. Die wichtigste Aufgabe ist es nun, eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ zu finden.
19.01.2009, 22:52	joopi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau, aber das ist ja mein erstes problem, die basis zu finden kannst du mir dabei helfen
19.01.2009, 22:57	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn eine Basis von $\begin{eqnarray} M(2,K) \end{eqnarray}$ aus? Das wäre nämlich schonmal ein Anfang.
19.01.2009, 23:27	joopi	Auf diesen Beitrag antworten »
das weiss ich jetzt nicht so genau, dafür brauche ich doch erst eine matrix oder nicht?
19.01.2009, 23:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso eine Matrix? $\begin{eqnarray} M(2,K)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\big\|a,b,c,d\in K\right\} \end{eqnarray}$ Das ist ein vierdimensionaler Vektorraum über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ (und damit isomorph zu $\begin{eqnarray} K^4 \end{eqnarray}$ ) Kannst Du vier Matrizen angeben, die diesen Vektorraum erzeugen?
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21.01.2009, 13:37	joopi	Auf diesen Beitrag antworten »
wie meinst du das?
21.01.2009, 13:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie er es gesagt hat. Du sollst eine Basis des VRs angeben. Die Vektoren sind hier eben Matrizen. Welche möglichst einfachen sind nun die Basisvektoren?
21.01.2009, 17:00	joopi	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm $\begin{eqnarray} (a,b,c,d) \end{eqnarray}$ könnte doch die basis sein??
21.01.2009, 19:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier stehen doch a,b,c,d vollkommen zusammenhangslos da. Was soll das sein - Äpfel und Birnen? Eine Basis für einen 4-dimensionalen Vektorraum von 2x2-Matrizen besteht aus 4 linear unabhängigen 2x2-Matrizen. Wenn Dir das nicht klar ist, dann ist die Aufgabe auch nichts für Dich und Du solltest eher am Grundlagenwissen arbeiten.

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