- Extremwertaufgabe - Im Drehkegel, Drehzylinder+Kugel eingeschrieben

19.01.2009, 18:17

D0NCamillo

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- Extremwertaufgabe - Im Drehkegel, Drehzylinder+Kugel eingeschrieben

Ok, Hallo erstmal.

Habe Probleme bei folgender Extremwertaufgabe:
Einem Drehkegel (r=8dm, h=15dm) sollen ein Drehzylinder und eine darauf ruhende Kugel so eingeschrieben werden, dass die Summe beider Volumina ein Maximum wird. Berechne den Rauminhalt der beiden Körper.

Das bedeutet also, ich habe einen Kegel, indem eine Kugel auf einem Zylinder liegt. Das Volumen von Kugel und Zylinder soll maximal werden. Das bedeutet auch, der Wert für das Gesamtvolumen minus dem Volumen Kugel+Zylinder soll minimal sein. Den Radius der Kugel sowie des Zylinders habe ich nicht gegeben, sie können also auch verschieden sein?!?!?

Wenn ich dies als Formel schreibe habe ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi r^{2} h -\frac{4}{3}\pi r^{3} -\pi r^{2}h \end{eqnarray*}$
wobei dies minimal sein soll und hier die $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Variablen sind, oder sehe ich das falsch? Für den Kegel könnt ich auch noch einsetzen. Ich weiß nur nicht weiter....

Vielleicht hat jemand einen anderen Ansatz für mich, oder sagt mir wie ich mit meinem weiter komme.

Besten Dank schonmal!

19.01.2009, 20:23

mYthos

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Hallo,

wenn du schon weisst, dass der Radius des Zylinders von dem der Kugel verschieden ist, dann musst du die beiden auch mit verschiedenen Variablen bezeichnen. Ausserdem kannst du gleich die Summe der beiden Volumina maximieren, bevor du sie vom Kegelvolumen abziehst und dann minimierst, denn das läuft auf dasselbe hinaus.

Um Beziehungen (für die Nebenbedingung) zwischen den unbekannten und gegebenen Größen herzustellen, verwende den Strahlensatz, d.h. nütze die Ähnlichkeit von bestimmten rechtwinkeligen Dreiecken aus.

mY+

27.04.2011, 09:15

Wolfgang1951

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Lösung zu dieser Extremwertaufgabe?
Hallo,

meine Tochter steht gerade vor derselben Aufgabe kann diese aber nicht Lösen.
Da ich mich leider mit dieser Art von Mathematik nicht auskenne kann ich ihr leider auch nicht weiterhelfen! Deshalb bin ich beim stöbern im Internet auf dieselbe Aufgabe gestoßen und hoffe das mir hier im Forum jemand weiterhelfen kann? Super wäre eine detaillierte Lösung wo alle Schritte nachvollziehbar sind.

Vielen Dank
Wolfgang

27.04.2011, 09:24

Explo

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Eine komplette (und detaillierte) Lösung, wird es hier nicht geben.

Dazu einfach mal kurz das Boardprinzip überfliegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2011, 09:34

mYthos

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Hallo,

deine Tochter möge mit den von mir gegebenen Hinweisen einmal ihren Ansatz vorstellen. Bei Problemen, die sich danach ergeben, können wir ihr gerne weiterhelfen bzw. auch Fehler aufzeigen. Es ist Sinn dieses Forums, die die Lösung gemeinsam zu erarbeiten!

mY+

27.04.2011, 10:27

Wolfgang1951

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Radius der Drehkugel?
Es ist bereits der Winkel Alpha und Beta bekannt! Wie kommen wir auf den Radius der Kugel bzw. ist das der nächst logische Schritt?

Alpha hat einen Winkel von 61,93°
Beta hat einen Winkel von 30,96°

[attach]19288[/attach]

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28.04.2011, 10:36

Wolfgang1951

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Weietere Frage
Haben dieselbe Aufgabe mit Radius 5cm und Höhe 12 cm gerechnet und sind auf diese Zielfunktion gekommen:

[attach]19332[/attach]

Dann habe wir uns die vereinfachte Zielfunktion zeigen lassen das wäre:

[attach]19330[/attach]

nur können wir nicht nachvollziehen wo das : [attach]19331[/attach] herkommt?

28.04.2011, 10:45

klarsoweit

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RE: Radius der Drehkugel?
Es ist $\begin{eqnarray*} \frac 4 3 \cdot (\frac{2x}{3})^3 = \frac{32x^3}{81} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Wolfgang1951
Alpha hat einen Winkel von 61,93°
Beta hat einen Winkel von 30,96°

Die beiden Winkel scheinen doch wohl eher gleich zu sein.

28.04.2011, 11:11

Wolfgang1951

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Weitere Frage?
Danke "klarsoweit" für deine schnelle Antwort!

Wenn ich aber die originale Zielfunktion nehme:

[attach]19335[/attach]

Wie muss dann die vereinfachte aussehen? Da kommen wir nicht weiter!

angefangen haben wir so:

[attach]19336[/attach]
weiter kommen wir nicht unglücklich

unglücklich

28.04.2011, 11:25

klarsoweit

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RE: Weitere Frage?
Ehrlich gesagt verstehe ich jetzt das Problem nicht.
Das ganze scheint mir irgendwie zusammenhanglos zu sein.
Worum geht es denn eigentlich?
Wie man zu der Zielfunktion kommt?
Oder wie man diese dann umformt und vereinfacht?

28.04.2011, 11:36

Wolfgang1951

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Ich habe mir bei einer ähnlichen Aufgabe die ungefähre Vorgehensweise abgeschaut! Bei dieser war aber der Radius 5cm und Höhe 12 cm. Bei meiner Aufgabe ist der Radius 8dm und die Höhe 15dm.

Diese Zielfunktion sollte meines Erachtens bereits Stimmen!

[attach]19337[/attach]

Was uns jetzt noch fehlt bzw. worauf wir nicht kommen ist die vollständig vereinfachte Zielfunktion:

[attach]19338[/attach]
um wieder weiter voran zu kommen!

28.04.2011, 11:50

klarsoweit

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Alles, was ich erkennen kann, ist, daß man das pi weggelassen, das x² in den Zähler gezogen hat und im Zähler die Klammer ausmultipliziert hat.

28.04.2011, 11:56

Wolfgang1951

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Weitere Frage?
Wenn ich die Vergleichsaufgabe nimm:

Zielfunktion:
[attach]19340[/attach]
vereinfachte Zielfunktion:
[attach]19341[/attach]

da habe ich eine fertig vereinfachte Zielfunktion!

Bei meiner Aufgabe:

Zielfunktion:
[attach]19342[/attach]

aber ich komme nicht auf die fertig vereinfachte Zielfunktion da fehlt uns der Rest!
[attach]19343[/attach]

um wieder weiter Rechnen zu können!

28.04.2011, 12:03

klarsoweit

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RE: Radius der Drehkugel?
Der Rest ist, daß man $\begin{eqnarray*} \frac 4 3 \cdot (\frac{3x}{5})^3 \end{eqnarray*}$ ausrechnet.

Aber da bewegen wir uns schon fast auf 1x1-Niveau.

28.04.2011, 12:07

Leopold

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Nur so zwischendurch die allgemeine Lösung.

Setzt man wie üblich für die Mantellinie des Kegels $\begin{eqnarray*} s = \sqrt{r^2 + h^2} \end{eqnarray*}$ , so wird das Maximum des Summenvolumens bei

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2r \left( s + r \right)^2}{3s^2 + 2rs + 7r^2} \end{eqnarray*}$

angenommen (mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist der Radius des einbeschriebenen Zylinders gemeint). Das maximale Volumen ist

$\begin{eqnarray*} V_{\text{max}} = \frac{4 \pi r^2 h \left( s + r \right)^4}{3 \left( 3s^2 + 2rs + 7r^2 \right)^2} \end{eqnarray*}$

ohne Gewähr (mit Hilfe eines CAS)

28.04.2011, 12:18

Wolfgang1951

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RE: Radius der Drehkugel?

Zitat:

Original von klarsoweit
Der Rest ist, daß man $\begin{eqnarray*} \frac 4 3 \cdot (\frac{3x}{5})^3 \end{eqnarray*}$ ausrechnet.

Aber da bewegen wir uns schon fast auf 1x1-Niveau.

So wie´s aussieht sitzen wir auf der Leitung:
[attach]19346[/attach]
da kommt das raus!

meine Tochter rechnet alles mit einem Casio Taschenrechner mit diesem Natural Display und dieser zeigt immer den Wert:

$\begin{eqnarray*} \frac{32}{3} \pi \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{32x^{3} }{81} \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 12:38

klarsoweit

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RE: Radius der Drehkugel?
Bei der Frage, wie man einen Taschenrechner bedient, kann ich nicht helfen.
Ich habe keinen und benutze auch keinen, weil ich noch immer alles im Kopf rechnen kann. smile

smile

28.04.2011, 13:43

mYthos

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Ob der TR das x mit ausgibt, oder nicht, ist eine andere Sache. Für die Auswertung des Bruches wird gar kein TR benötigt, das sollte man schon selbst können (!), es ist eine einfache Bruchrechnung.

Nun vereinfache bzw. maximiere letztendlich die Funktion

$\begin{eqnarray*} \overline{V}(x) = \frac{15x^2} 8 (8-x) + \frac{36}{125}x^3 \end{eqnarray*}$

mY+

12.07.2015, 22:28

Cristian126

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Nochmal Hilfe?
Hallo, ich habe alle Ansätze soweit verfolgt, jedoch versteh ich nicht wie ihr auf die Nebenbedingungen kommt.

Zuerst habe ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{r} = \frac{y}{h} <=> y = \frac{hx}{r} \end{eqnarray*}$

Jedoch finde ich die zweite Nebenbedingung nicht. Ich glaube die Lösung hat was mit der Ähnlichkeit zwischen den Dreiecken zu tun, leider komm ich nicht drauf.

Es wäre nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte smile

smile

Hier ist nochmal eine Skizze von mir:
[attach]38711[/attach]

12.07.2015, 22:49

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{r} = \frac{y}{h} <=> y = \frac{hx}{r} \end{eqnarray*}$

Im Zähler auf der rechten Seite steht nicht y sondern...

Zitat:

Ich glaube die Lösung hat was mit der Ähnlichkeit zwischen den Dreiecken zu tun

Die obige, von dir aufgestellte Gleichung basiert ja bereits auf der Ähnlichkeit von Dreiecken (daraus sind die Strahlensätze abgeleitet).

Ohne mir den Thread jetzt genauer angeschaut zu haben, würde ich nochmal an Pythagoras denken, für eine weitere Bedingung.

12.07.2015, 23:09

Cristian126

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Könnstest du mir vielleicht noch einen kleine Anstoß geben, ich hab alle mir bekannten Möglichkeiten bereits durchgerechnet.

Hier hast du recht, ich glaub jetzt stimmst aber:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{r} = \frac{h-y}{h} <=> y = -\frac{hx}{r}+h \end{eqnarray*}$

12.07.2015, 23:19

Bjoern1982

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h scheint ja die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 2r zu sein.
Damit kann man h ja mittels Pythagoras durch r ausdrücken.

12.07.2015, 23:31

Cristian126

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Danke, für die schnelle Antwort

Achso, am Anfang hab ich vergessen zu erwähnen das h und r schon gegeben waren. Ich muss nur x, y und R ausrechnen. Hättest du noch einen weiteren Strahlensatzt den man hieranwenden könnte?

13.07.2015, 15:14

Cristian126

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Danke für alle Antworten smile

smile

Heute in der Schule haben wir die Aufgabe nochmal besprochen, als Nebenbedingung die ich nicht gefunden habe galt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2r}{r}=\frac{h-(y + R) }{R} <=> R=\frac{h-y}{3} \end{eqnarray*}$

Und: $\begin{eqnarray*} y=h-\frac{hx}{r} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} R=\frac{hx}{3r} \end{eqnarray*}$

Als Maximum hab ich dann: $\begin{eqnarray*} x=\frac{18}{23} r \end{eqnarray*}$

Und als maximales Volumen: $\begin{eqnarray*} Vmax=\frac{108}{529} \pi r^2h \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft es noch jemanden,
Grüße Christian Wink

Wink

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