Endliche Körper

19.01.2009, 18:53	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper Hallo zusammen, es wäre nett, wenn jemand mal kurz über meine Lösung folgender Aufgabe schauen könnte und sagen könnte, ob die so richtig und ausreichend bearbeitet ist. Sei k ein endliche Körper. geben Sie ein Polynom $\begin{eqnarray} f(x) \in k[x] \ vom \ Grad \ n\geq1 \end{eqnarray}$ an, das in k keine Nullstelle besitzt. Zeigen Sie, dass ein algebraisch abgeschlossener Körper unendlich viele Elemente hat. Betrachte das Beispiel $\begin{eqnarray} k=\mathbb F_2 \ und \ f(x)=x^2-x+1 \end{eqnarray}$ so hat f keine Nullstelle in k. Sei k ein beliebiger endlicher Körper mit n Elementen. Dann hat das Polynom $\begin{eqnarray} 1+\prod \limits_{a \in k}^{}(x-a)=x^n-x+1 \end{eqnarray}$ keine Nullstelle in k. k ist somit nicht algebraisch abgeschlossen, daraus folgt ein algebraisch abgeschlossener Körper hat unendlich viele Elemente. vielen Dank für eure HIlfe
19.01.2009, 21:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Körper Sieht gut aus.
23.01.2009, 11:11	Problemfinder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat ein bisschen gedauert, aber trotzdem: Herzlichen Dank fürs Rüberschauen
28.06.2010, 10:47	Schnueffel20202	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab mir dein Beweis angeschaut und versteh ihn nicht ganz. Könntet ihr ihn etwas genauer erklären? Wieso ist das Polynom $\begin{eqnarray} x^n-x=\prod\limits_{a\in k} (x-a) \end{eqnarray}$ ? Danke
28.06.2010, 11:01	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die endlichen Körper lassen sich gerade als Zerfällungskörper über diesem Polynom charakterisieren.

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