Grenzwert einer Reihe

19.01.2009, 19:29

flosa

Grenzwert einer Reihe

Moin,

es ist 100% ganz einfach, aber ich blicks nicht .....

Ich soll den Grenzwert folgender Reihe bestimmen...

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n}} \end{eqnarray*}$

Weiß auch, dass er $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ lautet
Habe aber keine Idee wir man darauf kommt.

Ahja, sorry, ist zwar was anderes, aber wenn wir gerade dabei sind smile

$\begin{eqnarray*} \frac{2 + 2\cdot 10^{n}}{5 + 3\cdot 10^{n}} \end{eqnarray*}$

einfach $\begin{eqnarray*} 10^{n} \end{eqnarray*}$ rausziehen,und dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2 + 2\cdot 10^{n}}{5 + 3\cdot 10^{n}} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ???

Schonmal Danke!

19.01.2009, 19:33

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Reihe

Zitat:

Original von flosa
Weiß auch, dass er $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ lautet
Habe aber keine Idee wir man darauf kommt.

Schon mal was von geometrischer Reihe gehört?

19.01.2009, 20:03

Jono

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RE: Grenzwert einer Reihe
Also zu deiner 2. Aufgabe:
summe auseinander geschrieben:

$\begin{eqnarray*} {\frac{2}{5 + 3 \cdot 10^{n}}} + {\frac{2 \cdot 10^{n}}{5 + 3 \cdot 10^{n}}} \end{eqnarray*}$

der erste Summand wird 0, da der Nenner unendlich groß wird, dann den zweiten Summanden mit 1/10^n erweiteren

2
---------------------
5
-------- + 3
10^n

Der vordere Summand im Nenner wird wieder 0 sodass übrigbleibt:
2/3

20.01.2009, 10:48

flosa

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@ jonno, war das was ich gemacht hab grundsätzlich falsch?
weil hab das so auch schon oft wo anders gesehen. halt nicht mit der gleichen aufgabe.

@ klarsoweit

yo, hab ich, wobei die ja divergent ist, jedoch hab ich die in meinem skript mit anderen Vorrausstzungen bzgl. der Divergenz stehen. ich werde da mal bisschen rumprobieren.

oder soll dein post sagen, dass der gw nicht existiert?! oO
das würde mich extrem wundern ^^

20.01.2009, 10:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von flosa
@ jonno, war das was ich gemacht hab grundsätzlich falsch?

Ohne jetzt auf den Beitrag von Jono einzugehen. Du sagst was von "10^n rausziehen". Ich sehe aber nicht, wo du das gemacht hast.

Zitat:

Original von flosa
yo, hab ich, wobei die ja divergent ist

Was soll divergent sein? Ich rede von geometrischen Reihen, die konvergent sind, wenn der Betrag der Basis der Summanden kleiner 1 ist.

Zitat:

Original von flosa
oder soll dein post sagen, dass der gw nicht existiert?! oO

Siehe oben.

20.01.2009, 11:18

flosa

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Danke für die schnelle antwort.

Deine erste Antwort hatte mich leicht verwirrt ^^, aber dann habe ich das doch richtig verstanden ^^
ich check das jetzt mal ^^

zu dem 2. term. ich habe mir den schritt des 10^n rausziehens gespart, da ich es für logisch hielt^^

so hab ich es gemacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2 + 2\cdot 10^{n}}{5 + 3\cdot 10^{n}} = \frac {10^{n} \cdot (\frac{2}{10^{n}} + 2)} {10^{n} \cdot (\frac{5}{10^{n}} + 3)} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

.....bis auf das AUfteilen genau das gleiche.....stand gestern abend ein wenig neben mir smile

ist das Aufteilen notwendig oder nicht?

20.01.2009, 11:30

klarsoweit

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Nein, das Aufteilen ist nicht erforderlich. Du solltest aber trotzdem alles schön Schritt für Schritt und vollständig schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~\frac{2 + 2\cdot 10^n}{5 + 3\cdot 10^n} = \lim_{n \to \infty }~\frac {10^n \cdot (\frac{2}{10^n} + 2)}{10^n \cdot (\frac{5}{10^n} + 3)} = \lim_{n \to \infty }~\frac {\frac{2}{10^n} + 2}{\frac{5}{10^n} + 3} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

20.01.2009, 11:38

flosa

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ok, das wäre geklärt smile

Danke!

nun zu meiner reihe... (schreibe in 1 1/2 Woche Diff. und Int. I udn habe heute abned Klausurtraining. Will da die ganzen Übungsaufgaben verstanden haben ^^)

also die geometrische Reihe ist ja

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ ar^{k} = \frac{a}{1-r} ; \mid r \mid < 0 \end{eqnarray*}$ als Vorrausstzung für Konvergenz

so...ich habe doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ 1\cdot 3^{-k} = \frac{1}{1-3} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie bringt mich das nicht so wirklich nach vorne. Irgendwo habe ich da einen Denkfehler bzw. vergesse ich was smile

edit: ich depp

nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ 1\cdot 3^{-k} = \frac{1}{1-3} \end{eqnarray*}$

sondern $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

müsste stimmen? Big Laugh

schon hab ich $\begin{eqnarray*} \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

20.01.2009, 11:57

klarsoweit

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Na siehste. Augenzwinkern

Man sollte auch statt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ 1 \cdot 3^{-k} \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ 1 \cdot (\frac 1 3)^k \end{eqnarray*}$ schreiben. Dann paßt das auch besser zur Definition der geometrischen Reihe. smile

Zitat:

Original von flosa
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ ar^{k} = \frac{a}{1-r} ; \mid r \mid < 0 \end{eqnarray*}$ als Vorrausstzung für Konvergenz

Es muß |r| < 1 sein. |r| < 0 ist doch etwas schwierig zu erfüllen. Big Laugh

20.01.2009, 12:05

flosa

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Zitat:

Original von klarsoweit
Na siehste. Augenzwinkern

Vor allem passieren dann nicht so dämliche Fehler wie bei mir smile

Jetzt kann ich mit ganz neuem Elan an die Reihen gehen ^^

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von flosa
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ ar^{k} = \frac{a}{1-r} ; \mid r \mid < 0 \end{eqnarray*}$ als Vorrausstzung für Konvergenz

Es muß |r| < 1 sein. |r| < 0 ist doch etwas schwierig zu erfüllen. Big Laugh

ups....yo, das wird nicht soooo einfach ^^

20.01.2009, 12:56

flosa

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Konnte bis auf 1 alle GW locker ermitteln.
ABer der hier....ist wahrscheinlich wieder sowas wie mein 3 und $\begin{eqnarray*} \frac {1}{3} \end{eqnarray*}$
aber ich sehs nicht.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{2^{n-1}}{3^{n}} \end{eqnarray*}$

habe ich umgeformt in

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~ \frac{2^{n} \cdot 2^{-1}}{3^{n}} = \sum_{n=0}^\infty~ \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Es soll aber 1 rauskommen -.-

20.01.2009, 13:28

klarsoweit

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Ich kann da jetzt keinen Fehler erkennen. Aber auch Aufgabensteller können sich mal verrechnen. Augenzwinkern

20.01.2009, 15:56

flosa

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mir ist gerade eine Sache aufgefallen...ich habe ja gecshrieben von n=0 bis unendlich.....es ist aber von n=1 bis unendlich

somit greift ja die Def. gar nicht mehr
n=0 wäre ja 1/2
die muss ich doch jetzt noch vom GW abziehen, oder nicht? ^^
Also erschweint mir zumindest plausibel und es käme 1 bei raus ^^

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