Fourier-Transformation

19.01.2009, 19:59

blub85

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Fourier-Transformation

Hallo Leute!

Ich habe in 1,5 Wochen ein Vordiplom in der technischen Informatik und gucke mir aus diesem Grund gerade die Fourier-Transformation an.

Leider finde ich, dass wikipedia dazu nicht viel erklärendes hat.. Ich bin also auf der Suche nach einer ordentlichen, schrittweisen Erklärung, wie der Herr Fourier selbst darauf kam, ein zeitliches Signal in ein Frequenzspektrum umzurechnen!

Vielleicht kennt ihr ja gute Tutorials, bzw. habt selbst eins schon hier geschrieben. ich konnt leider keins finden.. unglücklich

unglücklich

Vielen Dank für die Hilfe!

armin

19.01.2009, 20:13

blub85

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Kennt keiner einen Link?? unglücklich

unglücklich

P.S.: soweit ich das Überblicke ist die kontinuierliche Fourier-Transformation gemeint..

20.01.2009, 02:23

Zellerli

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Leider kann ich dir auch keinen Link anbieten, aber zur Beruhigung:

Für die ausführliche mathematische Herleitung und auch für das Verständnis der mathematischen Motiviation, braucht man einiges an Vorkenntnissen (das war, was ich gelesen, gehört und gelernt habe). Deshalb sind Tutorials dazu wohl auch so selten.

Und da ich zuuufällig weiß, dass die Fourieranalysis in Mathe für Infs II auf dem Speiseplan steht und das die selbe Veranstaltung ist wie Mathe für Phys II und ich sie deshalb schon absolviert habe, möchte ich auch behaupten, dass man diese Vorkenntnisse dort nicht vermittelt kriegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich glaube auch nicht, dass dich jemand danach fragt, was die Motiviation war darauf zu kommen und wie man das von 0 auf 100 herleitet.
Eher kommt es wohl darauf an, dass du es anwenden kannst und weißt, wozu das nachher mal gut ist. Das hängt natürlich von dem Fach ab, in dem du darüber geprüft wirst.

20.01.2009, 11:54

blub85

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Mh, ja da hast Du wohl recht. Ich dachte halt, dass ich das mit einer gründlichen Herleitung am Besten verstehe, aber vielleicht sollte ich einfach mal paar Beispiele machen, damit ich es auf diesem Wege so viel kapiere, wie für die Prüfung erforderlich ist.

Angenenommen ich habe eine $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodische Funktion f(t) (=Rechteckimpuls) gegeben mit

f(t) = 1 für $\begin{eqnarray*} 0 <= \pi <= 1 \end{eqnarray*}$ und
f(t) = 0 für $\begin{eqnarray*} 1 < \pi < 2 \end{eqnarray*}$

Es gilt logischerweise $\begin{eqnarray*} f(t + 2\pi) = f(t) \end{eqnarray*}$

Wie fange ich jetzt hier an, um aus dem Ganzen die Fourier-Transformierte zu kriegen??

VIELEN DANK FÜR EURE HILFE!

20.01.2009, 12:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von blub85
f(t) = 1 für $\begin{eqnarray*} 0 <= \pi <= 1 \end{eqnarray*}$ und
f(t) = 0 für $\begin{eqnarray*} 1 < \pi < 2 \end{eqnarray*}$

In dieser Form ist die Funktion etwas undefiniert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du meinst:
f(t) = 1 für $\begin{eqnarray*} 0 <= t <= \pi \end{eqnarray*}$ und
f(t) = 0 für $\begin{eqnarray*} \pi < t < 2 \pi \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von blub85
Wie fange ich jetzt hier an, um aus dem Ganzen die Fourier-Transformierte zu kriegen??

Berechne die Fourierkoeffizienten. smile

smile

20.01.2009, 14:00

blub85

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mmmmh. das ist jetzt schwer *grübel*

die Reihe müsste die Form

$\begin{eqnarray*} x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty~(a_n cos(nw_0t)+b_ sin(nw_0t) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} w_0 = 2 \pi f_0 = \frac{2\pi}{T_0} \end{eqnarray*}$ haben, wobei

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{T_0} \infty \int_{0}^{\pi}~x(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \infty \int_{0}^{\pi}~x(t) cos(n w_0 t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2}{T_0} \infty \int_{0}^{\pi}~x(t) sin(nw_0t)~dt \end{eqnarray*}$

ist.

Diese Formeln habe ich aus einem Buch..?!?!

P.S.: Ich hätte noch ne generelle Frage zum dem ganzen Fourier-Zeugs:

Worin liegt denn der Unterschied zwischen einer Fourierreihenentwicklung und einer fourier-Transformation????

P.P.S.: Ich glaube man sieht, dass ich hier noch völlig im dunkeln tappe, oder?! traurig

traurig

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20.01.2009, 14:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von blub85
mit $\begin{eqnarray*} w_0 = 2 \pi f_0 = \frac{2\pi}{T_0} \end{eqnarray*}$ haben, wobei

Wie man leicht sieht, ist bei deiner Funktion f_0 = 1 und w_0 = 2*pi

Zitat:

Original von blub85
$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{T_0} \infty \int_{0}^{\pi}~x(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \infty \int_{0}^{\pi}~x(t) cos(n w_0 t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2}{T_0} \infty \int_{0}^{\pi}~x(t) sin(nw_0t)~dt \end{eqnarray*}$

Merkwürdige Schreibweise mit dem unendlich dazwischen. Außerdem mußt du über eine voll Periode integrieren:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~x(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~x(t) cos(n w_0 t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~x(t) sin(nw_0t)~dt \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von blub85
Worin liegt denn der Unterschied zwischen einer Fourierreihenentwicklung und einer fourier-Transformation????

Das sind im Grunde nur andere Bezeichnungen für dasselbe.

20.01.2009, 14:51

blub85

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sorry, die Unendlichkeitszeichen sind natürlich hier ein völliger schwachsinn! war ein versehen!

zum integrieren muss ich ja die stammfunktion bilden... das ist aber eine hexenwerk wenn man sich x(t) anschaut, oder?!? gibts da einen trick?! mmmh.

Zitat:

Zitat: Original von blub85 Worin liegt denn der Unterschied zwischen einer Fourierreihenentwicklung und einer fourier-Transformation????

Das sind im Grunde nur andere Bezeichnungen für dasselbe.

Danke!

P.S.: im Skript haben wir diese "Darstellung der Fourier-Transformation". Was hat es mit der auf sich??? Konnte sie sogar in wikipedia nicht finden, diese Darstellungsform :/

http://www.arminkerscher.de/tja/fourier.jpg

20.01.2009, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von blub85
zum integrieren muss ich ja die stammfunktion bilden... das ist aber eine hexenwerk wenn man sich x(t) anschaut, oder?!? gibts da einen trick?! mmmh.

Bei deinem konkretem Beispiel mit der Rechteckfunktion ist das eher trivial. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.01.2009, 16:53

blub85

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mh, das kann ich mir gut vorstellen.. Nur weiß ich nicht wie ich die Stammfunktion von x(t) bilden soll.. geschockt

geschockt

Wenn ich bspw. jetzt a_0 berechnen will mit:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{-\pi}^{\pi}~x(t)~dt = \frac{1}{T_0} \mid X(t)\mid_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{T_0} ( X(\pi) - X(-\pi)) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf X(t) (Stammfkt. von x(t)) ??

20.01.2009, 17:39

klarsoweit

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Warum setzt du nicht für x(t) deine konkrete Funktion (also das f(t)) ein? verwirrt

verwirrt

20.01.2009, 19:08

blub85

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mh, ich muss doch in dem Fall von f(t) die Stammfunktion bilden, um integrieren zu können, oder???

So hab ich zumindest die Integralrechnung im Kopf!

20.01.2009, 21:11

blub85

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*hilferuf*

21.01.2009, 09:28

klarsoweit

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Bevor du dich auf die Suche nach Stammfunktionen machst, solltest du erstmal sagen, was (Funktion, Intervall) du ganz konkret integrieren willst.

21.01.2009, 11:05

blub85

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mmmh, wenn ich mir das so recht überlege: Meine Fkt. x(t) stellt ja zusammen mit a_0, a_n und b_n die Zeitfunktion f(t) da.

Muss ich dann um a_0 zB auszurechnen die Stammfunktion F(t) bilden??? Das Intervall wäre $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?!

Stimmt das jetzt? traurig

traurig

21.01.2009, 11:06

blub85

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wobei meine Zeitfunktion ja von 0 bis \pi 1 ist und von -\pi bis 0 ist sie 0...

das müsste ich glaube ich auch noch berücksichtigen.. aber ich weiß nicht wie... geschockt

geschockt

21.01.2009, 11:59

klarsoweit

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Meine Güte, ist das so schwer?

Du mußt beispielsweise das a_0 bestimmen. Die Formel dazu hast du selbst rausgesucht (falsch war da nur das Integrationsintervall):

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{T_0} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~x(t)~dt \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir deine Funktion ein und stellen fest, daß sie im Intervall von -pi bis Null gleich Null ist. Also brauchen wir nur von 0 bis pi integrieren:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{\pi}~1~dt \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 13:38

blub85

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danke für Deine Hilfe und sorry, dass ich so nervig bin, aber irgendwie will das nicht so in mein Kopf rein... tut mir leid!

Ich will dennoch schnell die Aufgabe zu Ende bringen:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{\pi}~1~dt = \frac{1}{2 \pi} \cdot (1 - 1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{0}^{\pi}~1 \cdot cos(nw_0t)~dt = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{0}^{\pi}~1 \cdot cos(n 2 \pi t)~dt = \frac{2}{T_0} \cdot 1 \cdot (sin(n 2 \pi \pi) + sin(n 2 \pi 0)) = ... \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? smile

smile

(habe für w_0 2 \pi eingesetzt)

Falls Du mir grünes Licht gibst, rechne ich weiter.. Nur, dass ich nicht so viel Zeit jetzt verbrauche, muss noch einiges Lernen.. Prüfung ist heut inner Woche! Augenzwinkern

Augenzwinkern

DANKE für die Geduld!!!!!! Prost

Prost

21.01.2009, 13:52

klarsoweit

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Beid Rechnungen stimmen nicht. Was ist denn eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} cos(n 2 \pi t) \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2009, 15:26

blub85

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oh mann!!

unglücklich

Die Stammfunktion ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n 2 \pi}sin(n 2\pi t) \end{eqnarray*}$ ????

21.01.2009, 15:45

klarsoweit

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Ja. Denke daran, daß das a_0 auch nicht stimmt.

EDIT: Das 2*pi ist überflüssig. Siehe auch nächsten Beitrag.

21.01.2009, 15:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von blub85
(habe für w_0 2 \pi eingesetzt)

Habe leider übersehen, daß das auch falsch ist. w_0 ist 1. Demzufolge ist:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{0}^{\pi}~1 \cdot cos(nt)~dt \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 16:03

blub85

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oh mann, manchmal hab ich echt n Hirnkrampf und dann kommt nur noch Scheiße bei raus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist klar was gemeint ist, also:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{0}^{\pi}~1 \cdot cos(nt)~dt = \frac{2}{T_0} \cdot [\frac{1}{n} \cdot sin(nt)]_{0}^{\pi}= \frac{2}{T_0} \cdot (\frac{1}{n} sin(\pi n) - \frac{1}{n} sin(0)) = \frac{2}{n \cdot T_0} \cdot sin(\pi n) \end{eqnarray*}$

b_n spar ich mir jetzt mal an der STelle, müsste ja absolut klar sein, wie das zu rechnen ist....

Also kommt für x(t) raus:

$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{n \cdot T_0} \cdot sin(\pi n) \cdot cos(nt) + b_n sin(nt)) \end{eqnarray*}$

raus. Wenn ich mir diese Funktion nun als Reihe zeichnen lassen würde, käme eine Kuve dabei raus, die meiner Impulsfolge f(t) ähnlich sieht.. Hab ich das soweit kapiert?? smile

smile

EDIT: ich habe leider meinen Post versehentlicherweise als Edit gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meinen Post, der an dieser Stelle stand ibts also nicht mehr... RIP!

21.01.2009, 16:11

klarsoweit

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Machmal scheitert es nur an Kleinigkeiten: $\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{2 \pi} \cdot (\pi - 0) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bei dem a_n hat das t im Nenner bei der Stammfunktion nichts zu suchen.

21.01.2009, 16:13

Hans A. Plast

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Zitat:

Original von blub85
mh, okay. Denke, dass ich den Fehler bei a_0 gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{\pi}~1~dt = \frac{1}{2 \pi} cdot (\pi - 0) = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

für a_n gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{0}^{\pi}~1 \cdot cos(nt)~dt = \frac{2}{T_0} \cdot [\frac{1}{nt} \cdot sin(nt)]_{0}^{\pi} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun \pi und 0 in meine Stammfunktion eintrage, kommt doch ein Bruch durch 0 vor, was ja bekanntlicherweise verboten ist?!?

traurig

traurig

DANKE FÜR DIE HILFE!!!!!

Hab zwar keine Ahnung von Fourier-Transformation aber:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \pi} \cdot (\pi - 0) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 16:31

blub85

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oh mann, manchmal hab ich echt n Hirnkrampf und dann kommt nur noch Scheiße bei raus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist klar was gemeint ist, also:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{T_0} \cdot \int_{0}^{\pi}~1 \cdot cos(nt)~dt = \frac{2}{T_0} \cdot [\frac{1}{n} \cdot sin(nt)]_{0}^{\pi}= \frac{2}{T_0} \cdot (\frac{1}{n} sin(\pi n) - \frac{1}{n} sin(0)) = \frac{2}{n \cdot T_0} \cdot sin(\pi n) \end{eqnarray*}$

b_n spar ich mir jetzt mal an der STelle, müsste ja absolut klar sein, wie das zu rechnen ist....

Also kommt für x(t) raus:

$\begin{eqnarray*} x(t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{n \cdot T_0} \cdot sin(\pi n) \cdot cos(nt) + b_n sin(nt)) \end{eqnarray*}$

raus. Wenn ich mir diese Funktion nun als Reihe zeichnen lassen würde, käme eine Kuve dabei raus, die meiner Impulsfolge f(t) ähnlich sieht.. Hab ich das soweit kapiert?? smile

smile

21.01.2009, 17:09

klarsoweit

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Der Witz ist nur, daß sin(pi*n)=0 ist für alle n. Es kommt also auf die b_n-Koeffizienten an.

22.01.2009, 11:21

blub85

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vielen, vielen dank für Deine Hilfe, klarsoweit!

mir stellt sich jetzt nur noch die Frage, was das mit der Fouriertransformation in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auf sich hat.

Siehe (Auszug aus unserem Skript):

http://www.arminkerscher.de/tja/fourier.jpg

danke!! Tanzen

Tanzen

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