Anzahl von Abbildungen |
| 19.01.2009, 20:03 | Nalin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Anzahl von Abbildungen ich beschäftige mich gerade mit einer kurzen Aufgabe, zu der ich aber gerade zwei verschiedene Lösungen habe. Hier erstmal die Aufgabe: Wahr oder falsch? Es gibt für endliche Mengen A und B immer genau so viele Abbildungen von A nach B wie von B nach A. Mein erster Gedanke: Die Anzahl aller Abbildungen f: A --> B berechne ich mit der Formel |B| hoch |A|. Angenommen B hat 3 und A hat 2 Elemente, dann erhalte ich |B| hoch |A| = 3 hoch 2 = 9 Abbildungen von A nach B. Anders rum erhalte ich von B nach A aber nur |A| hoch |B| = 2 hoch 3 = 8 Abbildungen. Deshalb ist die obige Behauptung falsch. Mein zweiter Gedanke: Wenn ich die Abbildung A --> B und die Abbildung B --> A bilden darf, dann muss die Abbildung doch bijektiv sein. Ich habe dann quasi die Abbildung f: A --> B und die Umkehrabbildung g: B --> A. Wegen der Bijektivität müssen A und B aber gleich viele Elemente besitzen, weshalb die obige Behauptung wahr ist. Hilfe, was stimmt denn nun? Grüße, Nele. |
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| 19.01.2009, 21:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bleib bei deiner ersten Idee, denn das hier
entbehrt jeglicher Logik. 
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| 20.01.2009, 11:11 | Nalin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für deine Antwort. Und zum zweiten Gedanken: Da hab ich mit f, g, Umkehrabbildung und so wohl zu viel in die Aufgabe rein interpretiert, oder? Es geht einfach darum, dass man zwei Mengen hat und sich die Anzahl der Abbildungen von der einen in die andere Menge anschauen soll. Aber jetzt mal von der Aufgabe abgesehen: Prinzipiell stimmt es doch, dass nur eine bijektive Abbildung eine Umkehrabbildung hat. Und wenn f: A --> B diese bijektive Abbildung ist, dann könnte man die Umkehrabbildung als g: B -->A bezeichnen, oder nicht? |
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| 20.01.2009, 11:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, aber darum ging es bei dieser Aufgabe nicht: Es war einerseits nach den Abbildungen von A nach B, und andererseits von den Abbildungen von B nach A die Rede - aber NIRGENDWO von Abbildungen, die auch umkehrbar (und damit bijektiv) sein sollen. Das hast du falscherweise hineininterpretiert. Überhaupt sind bijektive Abbildungen von A nach B bei endlichen A,B sowieso nur möglich, wenn |A|=|B| ist, was hier in der Aufgabe i.a. nicht der Fall ist. |
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| 20.01.2009, 11:24 | Nalia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann dank dir nochmal. Toll, dass es so ein Forum gibt, wo man sich helfen kann. |
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