Hessebergmatrix, QR ZErlegung
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19.01.2009, 20:15 hxh Auf diesen Beitrag antworten »
Hessebergmatrix, QR ZErlegung
Hallöchen,
Hab hier eine Frage die ich nicht verstehe.

Sei eine obere Hessebergmatrix mit der QR-Zerlegung B=QR nach Householder. Geben Sie die Gestalt der Housholder-Matrizen für diesen Fall an.

Was soll ich denn genau hier machen und was fällt an den HH denn auf ? Ok es fällt was auf , hab das mal mit meinem Matlab Programm laufen lassen für ne obere Hessebergmatrix bzw. ne Tridiagonalmatrix. Man sieht dass bei den HHM eine 2x2 HHM immer weiter durchläuft.

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 A =

     2    -1     0     0
    -1     2    -1     0
     0    -1     2    -2
     0     0    -2     4


H =

   -0.8944    0.4472         0         0
    0.4472    0.8944         0         0
         0         0    1.0000         0
         0         0         0    1.0000


HH =

    1.0000         0         0         0
         0   -0.8018    0.5976         0
         0    0.5976    0.8018         0
         0         0         0    1.0000


HH =

    1.0000         0         0         0
         0    1.0000         0         0
         0         0   -0.4714    0.8819
         0         0    0.8819    0.4714
19.01.2009, 20:56 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Überlegung1
Zitat:
Original von hxh

Was soll ich denn genau hier machen und was fällt an den HH denn auf?


Mit Hessenberg sind wir ja schon nahe an der Matrixgestalt R dran. Alternativ gibt es ja noch die Givensrotationen. Worin unterscheiden sich denn von der Annulierungsidee Householder und Givens?
19.01.2009, 22:11 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich leider nicht sagen, da wir uns mit Givens nicht beschäftigt haben in der Vorlesung.
19.01.2009, 22:20 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

HH annuliert die ganze Spalte, Givens nur ein Element. Daher würde man hier auch givens nehmen, da "weniger" zu tun ist. habe im Moment keine Zeit die HH für dich aufzustellen. sorry
19.01.2009, 22:46 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Ok verstehe. Ist kein Problem.
Verstehe aber nicht was mit " Geben sie die Gestalt der Householdermatrizen" gemeint ist verwirrt
19.01.2009, 22:47 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mach deine obige Matrix doch im Vergleich mal voll... änder sich was an der Struktur?
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19.01.2009, 23:05 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar. Die HH haben dann die Gestalt.
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H =

   -0.4082   -0.8165   -0.4082
   -0.8165    0.5266   -0.2367
   -0.4082   -0.2367    0.8816


HH =

    1.0000         0         0
         0   -0.4100   -0.9121
         0   -0.9121    0.4100



Die HH sind quasi voll.

Man Kann ja nur so weit da reduzieren durch HH solang da was von Null verschiedenes steht. Die Hesseberg-Matrix ist ja so beschaffen dass es dann durch HHMatrizen zwangsläufig darauf hinausläuft.
19.01.2009, 23:17 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich denke, da wollen die drauf raus, das du nur 2x2 Blöcke hast, da nur 1 Eintrag geändert wird. Sonst sind das erst im letzen schritt 2x2 Blöcke.
19.01.2009, 23:25 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das ist gut dann kann ich damit anfangen was allgemeines zu formulieren smile

DAnke schön Mit Zunge
20.01.2009, 18:53 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da noch eine Frage. Ist das Produkt zweier Tridiagonalmatrizen wieder eine Tridiagonalmatrix? Obwohl in diesem Fall sollte Q wohl eher eine Diagonalmatrix sein dann klappt die Transformation besser.

Diese Beobachtung konnte man ja für die Householdermatrizen feststellen.
Q ist ja das Produkt der Housholdermatrizen.

Es geht darum zu zeigen, dass die QR-Transformierte C= Q^T B Q wieder eine obere Hessenbergmatrix ist , wobei B schon eine ist.
20.01.2009, 19:01 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist das Produkt zweier Tridiagonalmatrizen wieder eine Tridiagonalmatrix?


Nein, das ist i.A. nicht der Fall, dass kannst du dir selbst an einem Beispiel klar machen, betrachte A².
20.01.2009, 19:32 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Ok klar hab auch jetzt in MAtlab bissl damit rumgespielt.
Die Frage ist was es mir nun bringt zu wissen wie die HH MAtrizen aussehen. Damit wird man ja etwas spezielles anfangen können. Zumindest mit dem Produkt der ganzen HH MAtrizen zur MAtrix Q.

Bei C= Q^T B Q , sollte es sich um eine Ähnlichkeitstransformation handeln ?
20.01.2009, 19:37 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Sei eine obere Hessebergmatrix mit der QR-Zerlegung B=QR nach Householder. Geben Sie die Gestalt der Housholder-Matrizen für diesen Fall an.


Sind wir immer noch hier? Man muss halt dann nur 4 Einträge berechnen, als nxn, (n-1)x(n-1) etc. Damit sollte die Aufgabe doch fertig sein?
20.01.2009, 20:01 hxh Auf diesen Beitrag antworten »

JA doch das ist schon klar. DAs Produkt der HH MAtrizen , die Q Matrix ist dann eine obere Hessenbergmatrix.

Es geht darum, dass C = Q^T B Q auch eine obere Hessenbergmatrix sein soll.

Q^T ist eine untere Hessenbergmatrix, wenn Q eine obere ist.

Mh, ok durch nachrechnen kann ich das schon zeigen dann...?
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