Bild der leeren Menge

20.01.2009, 12:57

Sinaxy

Bild der leeren Menge

Hallo,
wahrscheinlich habe ich eine völlig bescheuerte Frage, aber ich stell sie trotzdem.

Gegeben sei die Abbildung f: A --> B mit A={a,b,c} und B={x,y}. Die leere Menge {} ist doch Teilmenge jeder Menge, das heißt die leere Menge ist auch Teilmenge von A.

Das bedeutet doch aber, dass das, was in der leeren Menge zwischen den geschweiften Klammern steht - nämlich "nichts" oder wie auch immer man das bezeichnet -, Element von A ist.

Und dieses "Nichts" kann ich dann doch auch in die Abbildung f reinpacken. Doch wohin wird dieses "Nichts" abgebildet? Doch eigentlich wieder auf das "Nichts" von B, oder?

Wird also die leere Menge unter einer Abbildung stets auf die leere Menge abgebildet, so dass f({})={} gilt?

20.01.2009, 14:16

Zellerli

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Naja eigentlich ne ganz coole Frage.

Fangen wir erstmal so an (mathematisch alles andere als sauber):

Das Bild $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ (Element aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) eines Urbildes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) der Funktion ist das was herauskommt, wenn man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einsetzt.
Was kommt heraus, wenn man nichts einsetzt?

Und jetzt mal etwas sauberer:
In $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ werden Elemente aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Eine Menge kannst du nicht als ganzes in eine Abbildung einsetzen. Du musst jedes Element für sich einsetzen und nachher betrachten, was für eine Menge die Menge der Bilder ist.
Z.b. könntest du die Menge $\begin{eqnarray*} M_1=\{a,b\} \end{eqnarray*}$ einsetzen und schauen auf welche Menge sie abgebildet wird. Es würde herauskommen $\begin{eqnarray*} M_1'=\{f(a),f(b)\} \end{eqnarray*}$ .

Willst du das selbe mit der leeren Menge probieren, so wirst du merken, dass es in der leeren Menge kein Element gibt, das du einsetzen kannst. Also steht in der Bildmenge der leeren Menge ebenfalls kein Element.

Übrigens glaube ich nicht, dass diese Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(\{ \} )=\{ \} \end{eqnarray*}$ existiert. Zumindest nicht auf "gleicher Ebene" wie die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(a)=x \end{eqnarray*}$ .
Kann natürlich sein, dass ihr sowas definiert habt um die Bildmenge einer Menge zu notieren.

20.01.2009, 15:41

Sinaxy

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Hallöchen.

Ja, wir haben die zuletzt von dir angesprochene und vielleicht ominös anmutende Schreibweise für die Bildmenge einer Menge benutzt.

Hm, eigentlich klingt das ganz einfach: Die leere Menge zeichnet sich dadurch aus, dass sie leer ist, also kein Element hat. Wenn ich kein Element in meine Abbildung einsetze, kann ich auch kein (Bild-)Element herausbekommen.

Ja, ja, ich und die leere Menge. Aber wo wir schon gerade dabei sind, fällt mir noch was ein.

1. Der Betrag einer Menge gibt die Anzahl der Elemente der Menge an. So gilt für A={a,b} zum Beispiel |A|=|{a,b}|=2, weil A zwei Elemente hat.
Dann gilt doch |{}|=0, weil ja in der leeren Menge keine Elemente sind, oder?

2. Die Potenzmenge einer Menge enthält alle Teilmengen einer Menge, wobei eine Menge immer Teilmenge zu sich selbst ist und auch die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist.
Dann müsste doch gelten: Pot {{}}={ {}, {{}} }, sprich in der Potenzmenge einer Menge, die die leere Menge als einziges Element besitzt, befindet sich die leere Menge - also {} - und die Menge selbst - also {{}} -, oder nicht?

3. Wenn ich jetzt aber die Potenzmenge nur von der leeren Menge bilde, dann ist in der Potenzmenge nur ein Element, nämlich die leere Menge. Es gilt also Pot {}={ {} }, oder?

20.01.2009, 16:34

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Zitat:

Original von Zellerli
Übrigens glaube ich nicht, dass diese Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(\{ \} )=\{ \} \end{eqnarray*}$ existiert. Zumindest nicht auf "gleicher Ebene" wie die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(a)=x \end{eqnarray*}$ .
Kann natürlich sein, dass ihr sowas definiert habt um die Bildmenge einer Menge zu notieren.

Streng mathematisch formuliert bildet man ausgehend von $\begin{eqnarray*} f:\;U\to V \end{eqnarray*}$ eine Mengenabbildung $\begin{eqnarray*} \tilde{f}:\;\wp(U)\to \wp(V) \end{eqnarray*}$ gemäß

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(A) := \Big\{ v\in V \Bigm| \exists a\in A: \; f(a)=v \Big\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A\subseteq U\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist es übliche Konvention, die Tilde wegzulassen und statt $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ schlicht auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Mathematisch unsauber, aber eben üblich. Augenzwinkern

Definition (*) ist im Falle nichtleerer $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(A) := \bigcup\limits_{a\in A} \{ f(a) \} \end{eqnarray*}$

äquivalent. Eigentlich auch im Fall $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ , aber nur dann, wenn man Vereinigungen über die leere Menge auch als leer definiert. Was wiederum in den allermeisten Fällen Sinn macht und deswegen auch gängige Konvention (hach, schon wieder!) ist. smile

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