Winkel und Zahlen

20.01.2009, 16:25	Gast0	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel und Zahlen Ich bin Student und versuche gerade den Aufbau der Geometrie nachzuvollziehen, den ich aus der Schule leider nicht gut genug kenne. Gegeben das übliche Axiomensystem der Euklidischen Geometrie der Ebene, das z.B. implizit in der Schule verwendet wird. Man kann ja Winkel z.B. als Paare von Halbgeraden definieren und definieren, was Kongruenz von Winkeln bedeutet und die Summe von Winkeln geometrisch definieren und dann definieren, was ein rechter und ein gestreckter Winkel, ein spitzer und stumpfer Winkel ist und wann ein Winkel größer als ein anderer ist. Wie geht man jetzt am Besten/standardmäßig vor, um Winkeln Zahlen zuzuordnen? Gegeben z.B. die Frage, eine Funktion von der Menge der Kongruenzklassen von Winkeln in die (rationalen oder reellen) Zahlen zu finden, sodass der Vollwinkel auf 1 abgebildet wird (oder 360) und die geometrische Addition von Winkeln mit der arithmetischen vertauscht, kann man beweisen, dass es genau eine solche Funktion gibt? Was hat es mit der "Konstruierbarkeit von Winkeln" auf sich, hat das nur mit diesen Konstruktionen "mit Zirkel und Lineal" zu tun, oder kann man z.B. nicht mit den Axiomen der Geometrie beweisen, dass ein Winkel (Paar von Halbgeraden) ex., sodass er 18 mal mit sich selbst addiert einen Vollwinkel ergibt (20°) ? Ich suche nur eine Orientierung, nicht unbedingt konkrete Beweise.
21.01.2009, 18:07	Gast0	Auf diesen Beitrag antworten »
(Dieses Thema wurde verschoben, aber es gehört offensichtlich in das Unterforum "Geometrie")
22.01.2009, 03:25	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel und Zahlen Also ich würde zuerst Winkel zwischen Ursprungsgeraden folgendermaßen definieren (ist jetzt alles aus der Luft gegriffen): Zuerst schauen wir uns mal die Menga aller Ursprungsgeraden an: Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Umfang c zeichnen, sehen wir dass zwei Ursprungsgeraden jeweils zwei gegenüberliegende, identische Kreisbögen abspannen. Audrücken können wir dies durch eine Funktion w: {Ursprungsgeraden} x {Ursprungsgeraden} -> R/cR definiert durch w(Ursprungsgerade) := Länge eines der besagten Kreisbögen. Ich habe bewusst R/cR gewählt, weil wenn ich zweimal die gleiche Gerade wähle, kann ich das einmal als kein Bogen (Länge 0) oder den kompletten Kreis (Länge c) interpretieren. Eine solche Funktion nennen wir Winkel zweier Ursprungsgeraden. Meistens sieht man c=360, was den Winkel in der Gradskala ergibt, oder c=2pi, was den Winkel im Bogenmaß ergibt. Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen, können wir ja erstmal zusammen so verschieben, dass deren Schnittpunkt auf den Ursprung fällt. Und dann ordnet ihnen unsere Funktion oben ja einen Winkel zu. Ich hoffe das ist einigermaßen hilfreich. Edit: Zu deiner Frage der Eindeutigkeit: Eine Winkelfunktion sollte einige Eigenschaften erfüllen und diese Eigenschaften machen sie eindeutig. Genauer gesagt: Die Menge aller Ursprungsgeraden ist ein Vektorraum mit folgenden Operationen: Sei L eine Gerade, welche einen Bogen der Länge l mit der x-Achse einspannt und K eine Gerade, welche einen Bogen der Länge k mit der x-Achse einspannt. Dann definieren wir L+K als die Gerade, welche einen Bogen der Länge l+k mit der x-Achse einspannt. Alle Bogenlängen betrachten wir natürlich modulo der gesamten Bogenlänge, aus den gleichen Grund warum ich R/cR gewählt habe. Sei L eine Gerade, welche einen Bogen der Länge l mit der x-Achse einspannt und r eine reelle Zahl. Dann definieren wir rL als die Gerade, welche einen Bogen der Länge r*l mit der x-Achse einspannt. Und natürlich ist R/cR auch ein Vektorraum. Man hat eine Addition, die der normalen Addition der reellen Zahlen entspricht und einer Skalarmultiplikation, welche der normalen Mutlipliokation der reellen Zahlen entspricht. Eine Winkelfunktion {Ursprungsgeraden} -> R/cR soll natürlich linear sein. Und da beide Vektorräume eindimensional sind, macht dies die Winekfunktion eindeutig von c abhängig.
22.01.2009, 12:14	Gast0	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber meine Fragen bezogen sich eher auf einen noch elementareren Standpunkt. z.B., wie definierst du die Länge eines Kreisbogens? Und du arbeitest ja auch schon mit der Zahl pi.. geometrisch kann man ja pi als Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser definieren, aber dazu müsste man erstmal definiert haben, was der Umfang eines Kreises ist.. Wie macht man das eigentlich, wenn man rein von der Geometrie nur mit Punkten, Geraden und Strecken ausgeht? (siehe z.B. de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Axiomensystem_der_euklidischen_Geometrie)
22.01.2009, 14:03	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Umfang des Kreises kann man leicht ermitteln, in dem du den Kreis mit einem n-Eck annäherst und dann n gegen unendlich laufen lässt. Genau das gleiche gilt für den Flächeninhalt. So kommt man auf die Zahl pi, ohne irgendwelche Winkel ins Spiel zu bringen. Edit: Zum Hilbert: Ich bin direkt von R² ausgegangen, das ist Hilbert nicht. Soweit ich es sehen kann, hat er gesagt, es gibt drei Objekte, die nenne ich Punkt, Gerade und Ebene und diese drei Objekte müssen die gegebenen Axiome erfüllen, damit man sinnvoll Geometrie analog zu der in R³ betreiben kann. Der Unterschied ist, seine Objekte müssen nicht in R³ liegen. Ein zugegeben etwas komplizierteres Beispiel: Punkte können z.B. maximale ideale des Polynomrings in 3 Variablen sein.

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