Frobeniusnorm (2) - nicht induziert

20.01.2009, 15:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Frobeniusnorm (2) - nicht induziert Wenn man zeigen will, dass die Frobeniusnorm nicht durch eine Matrixnorm induziert ist, könnte man das doch wie folgt tun. Für eine induzierte Norm gilt: $\begin{eqnarray} \\|A\\|_{V \to V}:=\sup_{x \neq 0} \frac{\\|Ax\\|_V}{\\|x\\|_V} \end{eqnarray}$ Wählt man nun die Einheitsmatrix I, so folgt (): $\begin{eqnarray} \\|I\\|_{V \to V}:=\sup_{x \neq 0} \frac{\\|Ix\\|_V}{\\|x\\|_V} = 1 \end{eqnarray}$ Für Vielfache der Einheitsmatrix gilt: $\begin{eqnarray} \\|\lambda I\\|_{V \to V}:=\sup_{x \neq 0} \frac{\\| \lambda Ix\\|_V}{\\|x\\|_V} = \sup_{x \neq 0} \frac{\|\lambda\|\\|x\\|_V}{\\|x\\|_V} = \lambda \end{eqnarray}$ Nehmen wir nun die Frobeniusnorm in der Spurdefinition: $\begin{eqnarray} \\|A\\|_F := \sqrt{\text{tr}(A^HA)} \end{eqnarray}$ so folgt: $\begin{eqnarray} \\|I\\|_F := \sqrt{\text{tr}(I)} = \sqrt{n} \end{eqnarray}$ Was im Widerspruch zu () steht, und somit kann die Frobeniusnorm nicht durch eine Vektornorm induziert sein. Warum ist Nun aber $\begin{eqnarray} \\|A\\|_N:=\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\text{tr}(A^HA)} \end{eqnarray}$ ebenfalls keine induzierte Matrixnorm? Wo setzt man da an? Das Problem mit der Einheitsmatrix ist ja nun behoben. Also müßte man bei der Veträglichkeit ansetzen? Eine induzierte Norm ist dann ja die kleinste mit einer Vektornorm verträgliche Norm. Nur wie soll man das bei allgemeiner Vektornorm widerlegen....
21.01.2009, 00:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frobeniusnorm (2) - nicht induziert Eine Induzierte Norm muss mit ihrer Vektornorm verträglich sein. Es muss dann für alle Vektoren gelten: $\begin{eqnarray} \\|Ax\\|_V \leq \\|A\\|_M \\|x\\|_V \end{eqnarray}$ (*) Wenn ich nun die Matrix so wähle, dass nur der Eintrag A(1,1) =1 von Null verschieden ist. Dann besitzt die Matrix den Eigenwert 1 und einen vom Nullvektor verschiedenen Eigenvektor x. Damit folgt dann: $\begin{eqnarray} \\|1\cdot x\\|_V \leq \\|A\\|_M \\|x\\|_V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \\| x\\|_V \leq \\|A\\|_M \\|x\\|_V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq \\|A\\|_M \end{eqnarray}$ Für die Matrixnorm ergibt sich: $\begin{eqnarray} \\|A\\|_M=\frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{\text{tr}(AA^H)}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{\text{tr}(A)} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Und somit wäre () nicht erfüllt, M also nicht induziert. Was passiert, wenn man die bekannten induzierten Normen nimmt? $\begin{eqnarray} \\|A\\|_1=1,~\\|A\\|_p = 1,~\\|A\\|_{\infty}=1 \end{eqnarray*}$ Könnte das so gehen?
21.01.2009, 11:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frobeniusnorm (2) - nicht induziert Würde mich über eine Stellungnahme freuen.
21.01.2009, 13:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frobeniusnorm (2) - nicht induziert PN: Kein Problem, schon in Ordnung. Zum Thema: Sieht gut aus, kann ich alles nachvollziehen. Worauf Du mit den "bekannten induzierten Normen" hinauswillst, habe ich aber nicht verstanden. Was willst Du denn zeigen?
21.01.2009, 13:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Merci. Mit den bekannten Normen wollte ich testen, ob dort die Ungleichung erfüllt ist. Das muss sie ja auch. Also quasi eine Probe meiner Argumentation auf Fehler. Ich muss zeigen, dass man die Frobiumsnorm nicht durch 1/sqrt(n) zu einer induzierten Norm machen kann. Auch wenn dann das erste Widerlegungsargument ja nicht mehr stimmt.
21.01.2009, 14:04	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessante Beweismethode. Scheint ja dann soweit alles klar zu sein. Einen hab' ich aber noch: Wenn die Frobeniusnorm mit dem Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ eine Induzierte Norm wäre, dann hätte man sie auch so definiert. Da man das nicht getan hat, ist es auch keine induzierte Norm. qed.
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21.01.2009, 14:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mal eine Begründung.

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