Dimensionsformel herleiten

20.01.2009, 16:38	MatheFrage!	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsformel herleiten Hallo, ich habe probleme zu verstehen wie man aus der Dimensionsformel für lineare Abb. die Dimensionsformel für Untervektorräume herleiten kann. Hier auf dem Blatt wird eine lin.abb g: U x U' -> U + U' definiert mit (a,b) -> a + (-b). Verstehe jetzt nicht ganz wieso das schon reicht ?! Ok den Kern der Abbildung kenne ich ja der ist (a,a) mit a aus dem Schnitt der Unterräume. Aber irgendwie krieg ich da keinen Zusammenhang zur Dimformel für lin. Abb hin.
20.01.2009, 17:38	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Was besagt die Dimensionsformel für lineare Abbildungen denn?
20.01.2009, 18:53	MatheFrage!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoffe ich komme ohne viele Formel aus da ich noch probleme mit Latex habe ^^ Also die DimFormel für lin.Abb besagt, dass für eine K-Lineare Abbildung f: V -> V' die Dimension des Vektorraumes V der Dimension des Bildes + Kernes von f entspricht. Man will die Dimformel für Unterräume ja gerade so herleiten, dass man sich die Abbildung die ich oben beschrieben habe so definiert und man über deren Keren und Bild den Bezug zur Dimformel für lin.Abb herstellt aber den verstehe ich irgendwie nicht so ganz
21.01.2009, 00:23	MatheFrage!	Auf diesen Beitrag antworten »
Um mal einfach was in den Raum zu werfen: Mein Kern ist ja (U n U'), also der Schnitt was ja klar ist. Mein Bild wird dann wohl U+U' sein und damit hätte ich wenn ich das mal in die DimFormel für lin.Abb einsetze schon mal folgendes: dim(U n U') + dim(U+U') = dim(V) Ich hab da jetzt mal dim(V) stehen lassen weil ich nicht dahinter komme warum hier dim(U) + dim(U') hin kommt ?!?!
21.01.2009, 19:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild ist $\begin{eqnarray} U+U' \end{eqnarray}$ , das ist richtig, aber man sollte noch begründen, warum wirklich jeder Vektor aus $\begin{eqnarray} U+U' \end{eqnarray}$ als Bild von g auftaucht. Der Kern ist nicht $\begin{eqnarray} U \cap U' \end{eqnarray}$ , denn diese Menge besteht ja aus einfachen Vektoren. Die Urbildmenge von g ist aber eine Menge von Paaren, und insofern muss der Kern auch aus Paaren $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\in U' \end{eqnarray}$ bestehen. Der Urbildraum ist $\begin{eqnarray} U\times U' \end{eqnarray}$ und man muss sich erstmal klarmachen, dass dies überhaupt ein Vektorraum ist. Dann kann man auch versuchen eine Basis davon anzugeben und so die Dimension von $\begin{eqnarray} U\times U' \end{eqnarray}$ bestimmen.
22.01.2009, 03:32	MatheFrage!	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja natürlich der Kern besteht ja aus (a,a) wobei a halt aus dem Schnitt der Unterräume kommt. Wenn ich nun eine Basis (x1,x2,...,xn) von U und eine Basis (y1,y2,...,yn) von U' habe dann wäre doch eine Basis des Urbildraumes gegeben durch (x1,0),(x2,0),...,(xn,0),(0,y1),(0,y2),...,(0,yn) und natürlich sind die lin. unabhängig und somit ist die Dimension des Urbildraumes = dim(U)+dim(U') Hoffe ich habs richtig kappiert ^^ ?
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22.01.2009, 07:28	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt!

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