Basis in R³

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20.01.2009, 17:31	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis in R³ Moin Moin, ich habe folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \text{Gegeben seien die folgenden Vektoren des } \mathbb{R}^3 \text{ :} \\ x=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, z=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}. \\ \text{Zeigen Sie, daß (x, y, z) eine Basis in } \mathbb{R}^3 \text{ bildet.} \end{eqnarray}$ Sollten jetzt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ heißen? Erstmal muss gezeigt werden das x, y, z linear unabhängig sind. $\begin{eqnarray} \begin{Bmatrix}5\lambda_1 - 2\lambda_2 + \lambda_3 =0\\ 3\lambda_2 + 4\lambda_3 =0\\\lambda_1 - 2\lambda_3 =0\end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}-5\lambda_1 + 2\lambda_2 = \lambda_3\\ - \frac{3}{4} \lambda_2 = \lambda_3 \\\frac{\lambda_1} {2}= \lambda_3\end{Bmatrix}\Leftrightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray}$ hoffe das ich kein fehler gemacht habe. wie muss ich jetzt weiter machen? Gruß Sandro
20.01.2009, 17:35	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
üblicher wäre es, die Determinante aufzustellen, wenn du aber zum gleichen Ergebnis kommst, auch gut. Rein formal müsstest du noch beweisen, dass die Wegnahme eines Vektors dazu führt, dass du nicht mehr alle Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ darstellen kannst, dass das Hinzufügen eines weiteren Vektors die Lineare Unabhängigkeit des Systems zerstört. Und drittens muss jeder Vektor des Raumes durch die Basis darstellbar sein.
20.01.2009, 17:35	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja...wenn du in einer Mathevorlesung (und nicht gerade Physik oder sowas) sitzt, dann heißt es einfach x. Also kommt drauf an, was du verwenden darfst. Habt ihr den Dimensionsbegriff schon ausführlich behandelt? Wenn ja, dann ist es denkbar einfach: Der Spann von 3 linear unabhängigen Vektoren ist 3-dimensional. Der umgebende Raum ist aber auch 3-dimensional. Also ist der Spann der ganze Raum. Wie geht es weiter?
20.01.2009, 17:50	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
wow.. so schnelle antworten also wir haben ihn schon behandelt, und ausfühlicher wird es wohl auch nicht mehr, leider habe ich das noch nicht ganz verstanden. also wir haben das mit dim(V) bezeichnet wenn du das mit Spann meinst. das habe ich im Script gefunden Ist m > dim(V ), so ist $\begin{eqnarray} (v_1,.. , v_m) \end{eqnarray}$ linear abhängig. da ich aber nur drei habe ist m = dim(V) und somit nicht linear abhängig oder?
20.01.2009, 18:00	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
nur einmal zu meinem verständnis x(0,1) und y(1,0) bilden eine basis in R² oder?
20.01.2009, 18:08	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig
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20.01.2009, 18:34	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \forall x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 : x = \lambda_1\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+ \lambda_2\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow \begin{Bmatrix} x_1= 5\lambda_1 -2\lambda_2 + \lambda_3 \\ x_2= 3\lambda_2+4\lambda_3 \\x_3= \lambda_1 - 2\lambda_3 \end{Bmatrix}\Rightarrow \begin{Bmatrix}\lambda_1= \\\lambda_2= \\\lambda_3= \end{Bmatrix} \end{eqnarray}$ wie komme ich jetzt weiter?
20.01.2009, 18:40	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du löst nach allen Lambdas auf (ist natürlich ein bißchen mühsam, du hast dann aber eine eindeutige Darstellung für jeden Vektor)
22.01.2009, 12:41	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda_3 = x_1 - 5(x_3 +2\lambda_3) -2\lambda_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_3 = x_1 - 5x_3 - 10 \lambda_3 -2\lambda_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11\lambda_3 = x_1 - 5x_3 - 2\lambda_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11\lambda_3 = x_1 - 5x_3 - 2(\frac{1}{3}x_2 - \frac{4}{3}\lambda_3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11\lambda_3 = x_1 - 5x_3 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{8}{3} \lambda _3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8\frac{1}{3}\lambda _3 = x_1 -5x3 -\frac{2}{3}x_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{25}{3}\lambda _3 = x_1 - \frac{2}{3}x_2 - 5x_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_3 = \frac{3}{25}x_1 - \frac{2}{25}x_2 - \frac{3}{5}x_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1 = x_3 +2(\frac{3}{25}x_1-\frac{2}{25}x_2 - \frac{3}{5}x_3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1 = \frac{6}{25}x_1- \frac{4}{25}x_2- \frac{6}{5}x_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2= \frac{1}{3}x_2 - \frac{4}{3}(\frac{3}{25}x_1- \frac{2}{25}x_2 - \frac{3}{5}x_3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2 = \frac{33}{75}x_2-\frac{4}{25}x_1+\frac{12}{15}x_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2= -\frac{4}{25}x_1+\frac{33}{75}x_2 +\frac{12}{15}x_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{Bmatrix} x_1= 5\lambda_1 -2\lambda_2 + \lambda_3 \\ x_2= 3\lambda_2+4\lambda_3 \\x_3= \lambda_1 - 2\lambda_3 \end{Bmatrix}\Rightarrow \begin{Bmatrix}\lambda_1=\frac{6}{25}x_1 -\frac{4}{25}x_2-\frac{1} {5}x_3 \\ \\\lambda_2= -\frac{4}{25}x_1 + \frac{33}{75}x_2+\frac{12}{75}x_3 \\ \\\lambda_3= \frac{3}{25}x_1-\frac{2}{25}x_2-\frac{2}{3}x_3 \end{Bmatrix} \end{eqnarray}$ irgendwie haut das nicht richtig hin..
22.01.2009, 13:00	Gast0	Auf diesen Beitrag antworten »
3 Vektoren in einem 3-dimensionalen Raum bilden immer eine Basis, falls sie linear unabhängig sind. Es ist also nur die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Du könntest z.B., anstatt alles mit Variablen aufzuschreiben, mit Gauß-Algorithmus zeigen, dass der Rang der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}5&-2&1\\0&3&4\\1&0&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gleich 3 ist. Das geht schneller.
22.01.2009, 13:03	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ohne mich einmischen zu wollen: Du bist längst fertig, denn Du hast die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen, und es gilt der Satz Wenn für einen Teilraum U eines Vektorraums V gilt $\begin{eqnarray} \dim(U) = \dim(V) \end{eqnarray}$ [wobei die Dimensionen endlich sind], dann sind U und V identisch. Die Dimension von $\begin{eqnarray} \langle x, y, z \rangle \end{eqnarray}$ ist 3, ebenfalls die Dimension von R³ -- ebenso ist das Erzeugnis von x, y, z ein Teilraum von R³. Also gilt $\begin{eqnarray} \langle x, y, z \rangle = \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , und {x, y, z} ist Basis
22.01.2009, 13:19	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
gut das ich mir die arbeit gemacht habe^^ aber danke für den Hinweis...

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