Ableitung gesucht!

20.01.2009, 16:52

schnix29

Ableitung gesucht!

Hi,

ich muss folgende Funktion ableiten:

$\begin{eqnarray*} F(x)= (-x^2-4x-5)+e^-x+3 \end{eqnarray*}$

Bitte sagt mir nicht du musst die Produkt- oder Kettenregel anwenden, weil ich beide nicht drauf habe.
Wäre also wirklich nett wenn mir einer etwas detailierter sagen könnte wie man das lösen kann.

20.01.2009, 16:56

Zizou66

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Du musst nur die Summenregel beachten und bei $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auf die Kettenregel achten, die allerdings durch die Regel zum Ableiten von e-Funktionen, die manchmal extra eingeführt wird, gleichwertig ersetzt wird.

20.01.2009, 17:05

schnix29

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???

20.01.2009, 17:06

Zizou66

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Du leitest einfach jeden Summanden einzeln ab. Die einzige Besonderheit tritt bei $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auf!

20.01.2009, 17:08

dr_fine

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da du eine summe hast kannst du jeden term einzelnt ableiten und das sollte machbar sein

20.01.2009, 17:16

schnix29

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Aber das stimmt dann nicht.
Die Lösung ist angegeben und muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2+2x+1)*e^-x \end{eqnarray*}$

20.01.2009, 17:19

Zizou66

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Ist es möglich, dass du oben eine falsche Formel gepostet hast?

20.01.2009, 17:20

derkoch

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Zitat:

Original von schnix29
Aber das stimmt dann nicht.
Die Lösung ist angegeben und muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2+2x+1)*e^-x \end{eqnarray*}$

Dann sind deine Angaben hier falsch!!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x)= (-x^2-4x-5)+e^-x+3 \end{eqnarray*}$

Es müßte so sein:

$\begin{eqnarray*} F(x)= (-x^2-4x-5) \cdot e^{-x}+3 \end{eqnarray*}$

20.01.2009, 17:22

schnix29

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ja stimmt ich hab mich verschrieben nach der klammer muss ein mal stehen also

*e^-x

20.01.2009, 17:24

Zizou66

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Gut, wie hast du denn gelernt solche Funktionen abzuleiten?
Um die Produktregel wirst du hier übrigens wohl oder übel nicht drumherum kommen.

20.01.2009, 17:28

schnix29

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Mit der Produktregel.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x) \end{eqnarray*}$

Aber die Klammer verwirrt mich, ich weiß nicht was da jetzt v und was u ist.

20.01.2009, 17:29

Zizou66

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Um dieses Problem zu beheben könntest du einfach ausmultiplizieren...

20.01.2009, 17:31

schnix29

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Ja klar wenn du mir sagst wie ich mit e^-x ausmultipliziere?

20.01.2009, 18:03

derkoch

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Zitat:

Original von schnix29
Ja klar wenn du mir sagst wie ich mit e^-x ausmultipliziere?

Die Frage ist nicht wirklich ernst gemeint, oder?

$\begin{eqnarray*} (a+b) \cdot x= ....??? \end{eqnarray*}$

20.01.2009, 18:32

schnix29

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Wenn sie nicht ernst gemeint wäre hätte ich sie nicht gestellt aber danke der Nachfrage.

Das heißt man muss jeden term mal $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ ?

Ach egal schenkt euch die Lösung irgendwie ist in diesem Forum niemand der Klugscheißer in der Lage es jemanden wie mir plausibel zu erklären so das man es auch versteht.

20.01.2009, 18:48

schnix29

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Ist das denn richtig mit der Produktregel zu arbeiten und den ersten Teil in der Klammer als u und den anderen Teil als v zu bezeichnen?

also

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(-2x-4)*e^-x+3 -e^-x *(-x^2-4x-5) \end{eqnarray*}$

20.01.2009, 20:38

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von schnix29

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(-2x-4)*e^-x+3 -e^-x *(-x^2-4x-5) \end{eqnarray*}$

Fast richtig, mit dem +3 bist Du durcheinander gekommen, aber bei der Anwendung der Produktregel hast Du Recht.

Vielleicht darf ich Klugscheißer Dir einen Tipp geben: Augenzwinkern

Schreibe die Funktion zuerst als Verknüpfung von Einzelfunktionen, sodass Du die Summen-, Produktregel u. s. w. wirklich streng nach deren Formulierung anwenden kannst:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} f = f_1 \cdot f_2 + f_3 \end{eqnarray*}$

Wobei die Einzelfunktionen folgendermaßen definiert sind:

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = -x^2 - 4x - 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = 3 \end{eqnarray*}$

Und jetzt leitest Du f ab:

Nach der Summenregel gilt

$\begin{eqnarray*} \left(f_1 \cdot f_2 + f_3 \right)^{\prime} = \left(f_1 \cdot f_2 \right)^{\prime} + {f_3 }^{\prime} \end{eqnarray*}$

Und nach der Produktregel wiederum

$\begin{eqnarray*} \left(f_1 \cdot f_2 \right)^{\prime} + {f_3 }^{\prime} = { f_1}^{\prime} \cdot f_2 + f_1 \cdot {f_2}^{\prime} + { f_3 }^{\prime} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast Du die Ableitung von f auf die Ableitungen der Einzelfunktionen zurückgeführt. Und erst jetzt berechnest Du konkret die Zuordnungsvorschrift von f':

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = { f_1}^{\prime}(x) \cdot f_2(x) + f_1(x) \cdot {f_2}^{\prime}(x) + { f_3 }^{\prime}(x) = \ ? \end{eqnarray*}$

Also ich finde das immer ganz sinnvoll, wenn man dieses obige strenge Verfahren immer im Hinterkopf hat -- die ganzen Ableitungsregeln wurden ja genau für die Verknüpfung von Funktionen formuliert.

Übrigens: Wenn man in LaTeX mehrere Zeichen hochstellen möchte, dann muss man diese in geschweifte Klammern setzen:

e^{-x}

20.01.2009, 20:55

schnix29

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gut danke für die hilfe!

habe dann

$\begin{eqnarray*} -2x-4*e^{-x}+(-x^2-4x-5)- e^{-x}+3 \end{eqnarray*}$

hab jetzt aber ein problem mit dem zusammenfassen.

es müsste ja $\begin{eqnarray*} (x^2+2x+1)e^{ -x} \end{eqnarray*}$

rauskommen

20.01.2009, 22:27

Jacques

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Zitat:

Original von schnix29

habe dann

$\begin{eqnarray*} -2x-4*e^{-x}+(-x^2-4x-5)- e^{-x}+3 \end{eqnarray*}$

Da sind leider noch drei Fehler:

Du hast die Klammer um -2x - 4 vergessen. Beachte, dass dieser Ausdruck eine Einheit bildet, er ist ja als Ganzes f1'(x)

Den Teil f1(x) * f2'(x) hast Du nicht korrekt wiedergegeben. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} (-x^2 - 4x - 5)\cdot (-1) \cdot \mathrm{e}^{-x} \end{eqnarray*}$

Das Minuszeichen kannst Du dann anstelle des + bei f1'(x)*f2(x) + f1(x)*f2'(x) schreiben

Und der dritte Fehler: Wie lautet die Ableitung einer konstanten Funktion?

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