Warum Doppelintegration anwenden

20.01.2009, 17:57	Andi101	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum Doppelintegration anwenden Ich versteht nicht warum man bei dieser Aufgabenstellung doppelt intergrieren muss: Bestimmen Sie den Schwerpunkt S der zwischen der Parabel y=-x²-2x und der x-Achse gelegenen Fläche. Ich verstehe das so (halt falsch), dass für die Schwerpunktformel der Flächeninhalt A= $\begin{eqnarray} \int_{-2}^{0}~-x²-2x~dx \end{eqnarray}$ zu lösen ist. Bitte um allgemeine Antwort da es ein Verständisproblem ist.
20.01.2009, 22:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kannst du schon so berechnen (wobei die Beachtung von mathematischen Rechtschreibregeln angeraten wäre: um den Integranden, er ist eine Summe, muß eine Klammer). Nur geht es beim Schwerpunkt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ um mehr. Er hat ja zwei Koordinaten: $\begin{eqnarray} S = \left( S_x , S_y \right) \end{eqnarray}$ Aufgrund der Symmetrie der Fläche ist natürlich $\begin{eqnarray} S_x = -1 \end{eqnarray}$ klar (das ist der Mittelwert der beiden Nullstellen der quadratischen Funktion). Jetzt fehlt aber noch $\begin{eqnarray} S_y \end{eqnarray}$ . Und dafür gilt nun einmal die Formel mit dem Doppelintegral $\begin{eqnarray} S_y = \frac{1}{A} \int_B y~\dd (x,y) \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ der Bereich, der zwischen der Parabel und der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse liegt, also die Menge aller $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} -2 \leq x \leq 0 \, , \ \ 0 \leq y \leq -x^2 - 2x \end{eqnarray}$
21.01.2009, 12:51	Andi101	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für deine Antwort aber genau mit diese Formel für S habe ich mein Problem. Laut Papula gilt für den Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche für die y-Koordinate $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{2A}\int_{a}^{b}~((y(obere Funktion))²-(y(untere Funktion))²)~(dx) \end{eqnarray}$ wobei ja die untere Funktion ja y=0 ist.
21.01.2009, 13:44	Andi101	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die gestifftet Verwirrung. Es ist völlig egal ob man die Formeln für den Flächeninhalt und den Schwerpunkt doppelt intergriert oder die Formeln mit einem Intergal verwendet, da es sich ja um ein ebenes Problem handelt. Jedoch unterscheiden sich die Formeln etwas. Bin ganz von allein drauf gekommen, hat mich nur eine Nacht gekostet
21.01.2009, 14:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nennen wir unsere Funktion einmal $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ! $\begin{eqnarray} f(x) = -x^2 - 2x \end{eqnarray}$ Die Grenzen sind $\begin{eqnarray} a=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ , der Flächeninhalt ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Es wird nun über den Bereich $\begin{eqnarray} B: \ \ a \leq x \leq b \, , \ \ 0 \leq y \leq f(x) \end{eqnarray}$ integriert. Dann liefert die Doppelintegration: $\begin{eqnarray} S_y = \frac{1}{A} \int_B y~\dd (x,y) = \frac{1}{A} \int_a^b \int_0^{f(x)} y ~\dd y~\dd x = \frac{1}{A}\int_a^b \left. \frac{1}{2} y^2 \right\|_0^{f(x)}~\dd x = \frac{1}{2A} \int_a^b \left( f(x) \right)^2~\dd x \end{eqnarray}$ Und schon haben wir unsern Papula! Die Formel mit dem Doppelintegral ist allgemeiner, denn nicht jede Fläche kann man als Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen darstellen.

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