HNF und Lotfußpunkt

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20.01.2009, 23:37	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
HNF und Lotfußpunkt Hey, a) Stelle die Ebene $\begin{eqnarray} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in der Hessischen Normalform dar. b) Fälle vom Punkt P= (8; 14; -2) aus das Lot auf dieser Ebene und berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes. also was a) angeht folgendes bisher: Da hab ich zunächst das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet, diesen Normalenvektor dann normiert und damit den Normalenvektor der Normalenform ersetzt.. sprich jetzt ists die HNF, oder etwa nicht? $\begin{eqnarray} E: [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}] \begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
21.01.2009, 00:14	Nerto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Ebene ist jetzt Hesse Normalform
21.01.2009, 00:20	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, nun die b).. ich denke, man müsste eine Lotgerade auf die Ebene fallen lassen, dann den Schnittpunkt bestimmen. $\begin{eqnarray} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 14 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was kommt als Richtungsvektor rein, der Normalenvektor der Normalenform oder der normierte Normalenvektor der HNF? Bin grad verwirrt..
21.01.2009, 00:22	Nerto	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau du muss die Lotgerade aufstellen ,was ist den der Unterschied zwischen normierte Normalenvektor und den normalen Normalenvektor in bezug auf das Lambda?
21.01.2009, 00:42	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, eigentlich scheint es ja keine Rolle zu spielen, da ja nur die Richtung zählt.. oder? oder eben der Einheitsnormalenvektor wäre zu kurz, um die Ebene zu durchstoßen.
21.01.2009, 00:46	Nerto	Auf diesen Beitrag antworten »
genau der einzige Unterschied ist die Länge also wie oft man ihn dazu addieren muss. Bei normierten Vektor kann man halt den Abstand ablesen, aber das ist ja nicht gefragt
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21.01.2009, 01:00	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte, es wäre gerade umgekehrt.. dass man mit dem Normalenvektor den Abstand ablesen kann, weil der normierte doch evt. zu kurz ist? Nun müsste ich ja die Gerade in die Ebenengleichung einsetzen, hier wiederrum stellt sich mir die Frage: Sollte man am besten erst die in die Koordinatenform umwandeln oder geht das direkte einsetzen schneller.. und in welche überhaupt, in die HNF oder eine der anderen Ebenengleichung. Die HNF ist noch relativ misteriös für mich, sie müsste ja eigentlich auch die selbe Ebene beschreiben, daher wärs ja hier auch wieder egal.
21.01.2009, 01:05	Nerto	Auf diesen Beitrag antworten »
1. der Normierten Vektor hat ja die Länge 1 und lambda 5 ist, ist der Abstand 5, weil man den ja fünf daran addieren muss bis man an gegeben Punkt ankommt. Jeder Vektor hat die Länge 1 -> Abstand 5 2. Wie Schnittpunkt berechnest ist egal.
21.01.2009, 02:03	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetzt folgendes gemacht: 1) Geradengleichung mit Normalenvektor n= (7; 7; -7) genommen und die Normalenform in die Koordinatenform umgewandelt, die Geradengleichung da eingesetzt und für lamda = -1 erhalten. als End ergebnis dann das erhalten: $\begin{eqnarray} s = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2) Geradengleichung mit Normalenvektor $\begin{eqnarray} n0=\begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ genommen und die HNF in die Koordinatenform umgewandelt, die Geradengleichung da eingesetzt und für lamda = -15,59 erhalten. Als Ergebnis kam folgendes heraus..: $\begin{eqnarray} s= \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Irgendetwas stimmt hier also nicht..
21.01.2009, 13:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
1) ist richtig! bei 2) hast du dir nur unnötig das Leben schwer gemacht und dabei prompt auch Fehler eingebaut ... Prinzipiell gilt, dass man beim Rechnen mit Vielfachen des Richtungs- oder Normalvektors diesen immer abkürzen sollte, also (1 ; 1 ; -1) statt z.B. (23,17 ; 23,17; - 23,17 ) oder (7 ; 7 ; -7). Und mit diesem (zum Rechnen) ekeligen n0 kannst du in diesem Fall genau so verfahren, also rechne auch da mit (1 ; 1 ; -1 ). Der einzige Fall, wo du wirklich den normierten Normalvektor - so wie er ist - verwenden musst, ist jener, in dem die Hesse'sche Normalform (HNF) gefragt ist bzw. wo du mit Hilfe der HNF einen Abstand zu berechnen hast. Die Koordinatenform der Ebene ist dann einfach x_1 + x_2 - x_3 = 3 Solange du die HNF davon nicht explizit benötigst, setze also deine Parameter hier ein und nicht in die HNF. Die HNF der Ebene lautet übrigens - auch etwas einfacher: $\begin{eqnarray} \frac{x_1 + x_2 - x_3 - 3}{\sqrt3} = 0 \end{eqnarray}$ mY+ @Nerto Mit deiner sprachlichen Ausdrucksweise kann ich mich leider nicht anfreunden. Geht's nicht ein bisschen sorgfältiger?
23.01.2009, 02:20	commander731	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das mit dem Kürzen ist mir ganz entfallen, macht da ganze sehr, sehr viel einfacher.. Habs nochmal nachgerechnet (was diesmal sehr viel schneller ging :-) ) und konnte das 1. Ergebnis mit (1; 7 ; 5) bestätigen. Vielen dank, auch für die Erklärung zur HNF, das Mysterium HNF ist damit keines mehr..

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