Extrema berechnen

20.01.2009, 23:48

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Extrema berechnen

Soo, nun ist das auch mal mein erster Eintrag.

Also ich habe dass Problem, dass ich zur Zeit Mathe echt nicht blick (da bin ich wohl nicht der einzigste), und vorallem nicht das mit den Extrempunkten.

Also die Formel ist

f(x)= x³-3x-2

mittels der Formel muss ich
- gemeinsame Punkte
- Hoch- Tiefpunkte & Wendepunkte berechnen

Wäre nett, wenn ich einen Anhaltpunkt bekäme, da ich überhaupt nicht weiß womit ich hier Anfangen soll..

21.01.2009, 00:02

Nerto

Auf diesen Beitrag antworten »

Man brechnet die Extrempunkt, indem man $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ setzt und man überprüft mit Hilfe der Zweite Ableitung, ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist.

Extrempunkt:
Sei $\begin{eqnarray*} f'(a) = 0 \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt wenn gilt $\begin{eqnarray*} f''(a) < 0 \end{eqnarray*}$
ein Tiefpuntk wenn gilt $\begin{eqnarray*} f''(a) > 0 \end{eqnarray*}$

Wendepunkte bekommt man indem man $\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ (außerdem muss gelten $\begin{eqnarray*} f'''(x) \neq~ 0 \end{eqnarray*}$ ) setzt.

Gemeinsame Punkt mit was?

23.01.2009, 14:08

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei dem Beispiel, wäre die erste 2. Ableitung

f'' (x) = 6x

und nun ist das größer als 0 ?

Vielleicht ist mit gemeinsame Punkte die Schnittpunkte gemeint..?!

Danke für die Antwort :-)

23.01.2009, 14:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von .:-Adi-:.
und nun ist das größer als 0 ?

Du mußt da noch die Stelle einsetzen, für die du das Vorliegen eines Extremums überprüfen willst.

23.01.2009, 14:28

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steh auf dem Schlauch ...
Kannst du mir ein Beispiel geben?

23.01.2009, 14:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nerto hat doch schon alles gesagt. Als erstes mußt du diejenigen Stellen bestimmen, wo die erste Ableitung f'(x) Null ist. Diese Stellen sind die Verdächtigen für das Vorliegen eines lokalen Extremums.

Und ein Beispiel hast du doch mit deiner Funktion.

Anzeige

23.01.2009, 14:45

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die erste Ableitung wäre dann

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 3x^2 -3 \end{eqnarray*}$

ich muss doch irgendwas für x einsetzen..oder?

23.01.2009, 14:51

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ soll gelten, also suchst du die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} 3x^2 - 3 \end{eqnarray*}$ , das sind deine (möglichen) Extrempunkte.

23.01.2009, 15:01

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so richtig..

$\begin{eqnarray*} 3x^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Also ist es ein Tiefpunkt, da es größer als 0 ist..

23.01.2009, 15:08

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Umformung ist richtig.

Um zu bestimmen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, musst du das x allerdings in die 2te Ableitung einsetzen.

Ist das Ergebnis negativ, ist es ein Hochpunkt.
Ist es positiv, ist es ein Tiefpunk.

Und zuletzt das x auch noch in die Ausgansfunktion einsetzen, um den Y-Wert der Extremstelle zu bestimmen.

23.01.2009, 15:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von .:-Adi-:.
Also ist es ein Tiefpunkt, da es größer als 0 ist..

Es kommt nicht darauf an, wo die Stelle liegt, sondern es kommt darauf an, welches Vorzeichen die 2. Ableitung an dieser Stelle hat. Obendrein hast du eine Nullstelle vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2009, 15:11

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'' (1) = 6* (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'' (1) = 6 \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit Ausgangsfunktion?

etwa

$\begin{eqnarray*} f (1) = 1^3-3*(1) -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = -4 \end{eqnarray*}$ ?

23.01.2009, 15:23

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Jetzt weißt du, dass des sich um einen Tiefpunkt handelt.

Mit der Ausgangsfunktion meine ich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

und vergiss nicht den 2ten X-Wert, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}= \pm 1 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 15:26

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also kommt oben bei der Nullstellenberechnung

$\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2= -1 \end{eqnarray*}$

raus?
Muss ich dann dasselbe nochmal mit -1 machen?

23.01.2009, 15:28

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

smile

Wenn du mehrere X-Werte haste verwendest du am besten $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , damit du nicht durcheinander kommst.

EDIT: Kannst ja mal deine Extremstellen posten, damit wir sehen obs richtig ist.

23.01.2009, 15:31

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, Danke :-)

Das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} f(-1)= -1^3-3*(-1)-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-1)= -1+3-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-1)=0 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 15:34

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Handelt es sich denn nun um Tiefpunkte oder Hochpunkte?

23.01.2009, 15:37

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage Big Laugh

Big Laugh

Keine Ahnung es ist ja weder <0 noch >0 ...
vielleicht ein Wendepunkt?

23.01.2009, 15:42

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch. Du setzt die Werte nur in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ein, um die Position der Stellen zu bestimmen.

Du weißt also nun dass $\begin{eqnarray*} P_1=(1|-4) \text{ und } P_2=(-1|0) \end{eqnarray*}$ .
Um zu bestimmen ob es nun Hoch oder Tiefpunkte sind, musst die die X-Werte in die 2te Ableitung einsetzen.
Also: $\begin{eqnarray*} f''(1) \text{ bzw } f''(-1) \end{eqnarray*}$ .

23.01.2009, 15:47

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann

$\begin{eqnarray*} f''(1)= 6*(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(1)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-1)=6*(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(-1)=-6 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 15:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von TheSkax
und vergiss nicht den 2ten X-Wert, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}= \pm 1 \end{eqnarray*}$

Das ist leider ein (nicht seltener) Irrtum. Es ist klar und eindeutig $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}= 1 \end{eqnarray*}$ . Allerdings hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$ 2 Lösungen.

23.01.2009, 15:52

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

haja, die eine Lösung war ja

$\begin{eqnarray*} x_1= 1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 15:53

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von .:-Adi-:.
Das wäre dann...

Richtig. Also weißt du jetzt auch um was für Extremstellen es sich handelt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2009, 15:54

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Und um die Wendepunkte zu berechnen?
Woher weiß ich, ob die Funktion überhaupt welche hat..

23.01.2009, 16:02

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Wendepunkten ist es das selbe Spiel, nur dass du diesmal die $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ setzt.
Das hinreichende Kriterium ist hierbei, dass $\begin{eqnarray*} f'''(x)\ne0 \end{eqnarray*}$ .

23.01.2009, 16:08

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall wäre

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 6x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6 \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} 6 \neq 0 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 16:16

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss nicht, die zweite Ableitung = 0 zu setzen.

Also:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=&0\\=>6x=&0 \end{eqnarray*}$

Sonst hättest du ja keine X-Werte.

Und auch hier musst du die berechneten X-Werte wieder in die Ausgangsfunktion einstezen.

23.01.2009, 16:18

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber
wenn ich

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ setze,
dann heißt es ja

$\begin{eqnarray*} 6x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

kann dass sein, dass ich 0 als x Wert habe?

23.01.2009, 16:20

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht so aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist richtig.

also hast du den Wendepunkt $\begin{eqnarray*} WP(0|f(0)) \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 16:20

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich rechne einfach mal so weiter:

$\begin{eqnarray*} f(0)= 0^3 -3*(0)-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)= -2 \end{eqnarray*}$

also wäre der Wendepunkt an dem y- Wert -2?
Oder kanns für 0 2Werte geben.. nicht oder?

23.01.2009, 16:23

TheSkax

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal abgesehen davon dass du eh keine Wurzel ziehst.. nein kann es nicht. Ist richtig so.

$\begin{eqnarray*} =>WP(0|-2) \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 16:27

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann wars das.

Vielen Dank smile

smile

23.01.2009, 17:34

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nun mein Wissen auf andere Aufgaben gepackt, und Sie zum Teil gelöst...
Bei einer bin ich nicht weitergekommen:

Und zwar geht es auch um Hoch/Tief & wendepunkt berechnung, jedoch ist die Formel diesesmal

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac 1 8 x^3 - \frac 3 2 x^2 + \frac 9 2 \end{eqnarray*}$

ich hab die erste Ableitung gemacht, aber das wars auch schon...
komm nicht weiter

23.01.2009, 17:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo klemmt's denn? Du mußt doch nur die Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmen.

23.01.2009, 18:00

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

genau da klemmts auch..
ich kann doch nicht

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac 3 8 x^2 -3x + \frac 9 2 = 0 \end{eqnarray*}$ setzen.. ?!

23.01.2009, 18:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal abgesehen davon, daß die 9/2 in der Ableitung nichts zu suchen haben, kannst du das doch machen. Was sollte dich hindern?

23.01.2009, 18:06

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

achso es sollte ganz am anfang

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac 1 8 x^3 - \frac 3 2 x^2 + \frac 9 2 x \end{eqnarray*}$ heißen ^^

Also ist die 1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac 3 8 x^2 - 3x + \frac 9 2 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 18:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Also mußt du eben diese Gleichung lösen:

Zitat:

Original von .:-Adi-:.
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac 3 8 x^2 -3x + \frac 9 2 = 0 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 18:30

.:-Adi-:.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber ich hab irgendwann auf der einen seite x² & x stehen, und auf der anderen eine Zahl

23.01.2009, 18:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein du hast links genau das stehen, was ich zitiert habe, und rechts eine Null. Und wie gesagt, das ist eine quadratische Gleichung, und da gehe ich mal davon aus, daß du weißt, wie man diese löst.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »