Quadratisches Reziprozitätsgesetz

21.01.2009, 03:50

Bjoern1982

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Hallo,

sei p eine ungerade Primzahl, ich soll mit dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz QRG $\begin{eqnarray*} \left( \frac{5}{p} \right) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Bis jetzt bin ich soweit:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{5}{p} \right) \left( \frac{p}{5} \right)=(-1)^{p-1}=1 \end{eqnarray*}$ da p-1 gerade.

Daraus folgt dann auch $\begin{eqnarray*} \left( \frac{5}{p} \right) = \left( \frac{p}{5} \right) \end{eqnarray*}$

Ich habe mal ein paar p's eingesetzt und könnte mir vorstellen, dass die folgenden Fälle auftreten können:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{5}{p} \right)=\begin{cases} 1, & \text{falls } p \equiv\ \pm1\ mod\ 5\\ -1, & \text{sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie ich das jetzt aber alles mit dem QRG zeigen soll verstehe ich nicht so recht verwirrt

Hat jemand einen Hinweis ?

Gruß Björn

21.01.2009, 21:14

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Quadratisches Reziprozitätsgesetz
Wann ist denn eine Zahl modulo 5 ein Quadrat?

21.01.2009, 21:30

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sie eine Potenz eines der quadratischen Reste modulo 5 (also 1 und -1) ist.
Wolltest du darauf hinaus ?

Edit:

Sprich für den 1. Fall bei der Fallunterscheidung des Legendre Symbols.

21.01.2009, 21:44

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist doch nur: Was ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{5}\right) \end{eqnarray*}$ ?
Und das ist wirklich kein großer Schritt mehr.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} x\equiv y\,({\rm mod}\, 5) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left(\frac{y}{5}\right)=\left(\frac{x}{5}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{p}{5} \right)=\begin{cases} 1, & \ldots\\ -1, & \ldots\end{cases} \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 21:51

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und daraus folgen dann doch die eben bzw auch oben von mir erwähnten Fälle oder ?

Eben wegen dem Zusammenhang des Legendresymbols und den quadratischen Resten bzw Nichresten, korrekt ?

21.01.2009, 22:06

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja geschrieben:

Zitat:

Wenn sie eine Potenz eines der quadratischen Reste modulo 5 (also 1 und -1) ist.

Und das fand ich irreführend, denn p ist modulo 5 genau dann ein Quadrat, wenn $\begin{eqnarray*} p\equiv 0,1,-1({\rm mod}\, 5) \end{eqnarray*}$ . Fertig.

21.01.2009, 22:15

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - ich danke dir smile

Gruß Björn

Neue Frage »

Antworten »

Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Verwandte Themen