Telefonleitung

21.01.2009, 07:23

Dalice66

Telefonleitung

Hallo Leute,
bei folgender Aufgabe weiß ich nicht mehr weiter. Ich soll beweisen, dass eine Telefonleitung, die mindestens 3 Einheiten höher sein soll als die darunter liegende Ebene, diese Vorgabe nicht erfüllt.

Hier die Daten:

Mast PQ: Fußpunkt; P(3|-2,5|2), Spitze; Q(3|-2,5|12)
Mast UV: Fußpunkt; U(-1|9,5-3), Spitze; V(-1|9,5|2)
Die Ebene(EFGH), wie in der Zeichnung zu sehen, ist parallel zur X1X2-Ebene.

Für die Gerade VQ habe ich die Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} g(\overrightarrow{0U};\overrightarrow{VQ}): \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 9,5 \\ 3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ermittelt.

Die Punkte F und G sind:

F(3|3,5|5), G(-3|3,5|5)

Die anderen Punkte brauche ich nicht, da die Telefonleitung zum zweiten Mast ihn abfällt und ich nur an der Geraden FG beweisen muss, ob die Mindesthöhe eingehalten wird oder nicht. Ich weiß auch, dass hier die X2 und X3 Werte von Bedeutung sind. Nur, wie bringe ich dass zusammen?

[attach]9646[/attach]

21.01.2009, 11:08

riwe

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RE: Telefonleitung
bestimme den abstand der beiden windschiefen geraden g (hast du schon) und h durch F und G.

23.01.2009, 11:19

Dalice66

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RE: Telefonleitung
Ok,
demnach muss an der Stelle X2=3,5 der Abstand zur X1X2-Ebene 8 sein.

$\begin{eqnarray*} 3,5=9,5+\lambda-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8=X_3:3+(0,5*10) \end{eqnarray*}$

8=8

Der Telefondraht ist an der Stelle X2 8 Einheiten über der X1X2 Ebene, somit ist er hoch genug.

23.01.2009, 11:35

riwe

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RE: Telefonleitung

Zitat:

Original von Dalice66
Ok,
demnach muss an der Stelle X2=3,5 der Abstand zur X1X2-Ebene 8 sein.

$\begin{eqnarray*} 3,5=9,5+\lambda-12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8=X_3:3+(0,5*10) \end{eqnarray*}$

8=8

Der Telefondraht ist an der Stelle X2 8 Einheiten über der X1X2 Ebene, somit ist er hoch genug.

was soll denn das sein verwirrt

kannst du erklären, was das mit meinem tipp zu tun hat verwirrt

ich erhalte d = 2.30

23.01.2009, 18:33

Dalice66

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RE: Telefonleitung
Hi,
du hast recht, ich habe mich nicht an deinen Tip gehalten, weil ich nicht weiß, wie man den Abstand von zwei Geraden zueinander berechnet. Deswegen suchte ich nach meinem Weg. Zur Abstandsbestimmung fand ich im Internet folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{|(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})| }{|\overrightarrow{u}X\overrightarrow{v}|} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich die Formel verstehen und warum stehen im Zähler PQ UND u UND V? Ist damit irgendein Vektor der dreien gemeint?

23.01.2009, 18:57

riwe

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RE: Telefonleitung

Zitat:

Original von Dalice66
Hi,
du hast recht, ich habe mich nicht an deinen Tip gehalten, weil ich nicht weiß, wie man den Abstand von zwei Geraden zueinander berechnet. Deswegen suchte ich nach meinem Weg. Zur Abstandsbestimmung fand ich im Internet folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{|(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})| }{|\overrightarrow{u}X\overrightarrow{v}|} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich die Formel verstehen und warum stehen im Zähler PQ UND u UND V? Ist damit irgendein Vektor der dreien gemeint?

etwas eigenwillige schreibweise.

im zähler steht (vermutlich) der betrag des spatproduktes aus den beiden richtungsvektoren und dem verbindungsvektor der beiden aufpunkte. du hast also ein volumen.
im nenner der betrag des kreuzproduktes der beiden richtungsvektoren, also die grundfläche des spats.
durch division bekommst du daher die höhe = senkrechter abstand der beiden geraden.

ich mache es ohne dieses formelzeugs über das kreuzprodukt und lösen des zugehörigen lgs. smile

23.01.2009, 19:36

Dalice66

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RE: Telefonleitung
Hi,
ich habe mit der Formel auch deinen Wert erhalten. Man arbeitet hier mit Hilfsebene und verschiedenen Aufpunkten. Mein Wert beträgt gerundet 2,361. Das ist dann auch mein Beweis, dass der Abstand der Telefonleitung zur Geraden FG unter den geforderten drei Metern liegt.

Ich danke dir. Nur mal aus Interesse, ich habe überhaupt nichts gegen das Formelzeugs, trotzdem würde mich dein Weg mal interessieren. Magst du ihn mir mal detailliert aufschreiben?

Wink

23.01.2009, 20:20

riwe

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RE: Telefonleitung
weil du so schöööön bittest,
mögen tu ich nämlich nicht smile

variante 1)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\ 9.5 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 3.5 \\ 5\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\ 9.5 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 3.5 \\ 5\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist nun ein lgs in r, s und t, das du zu lösen hast.
damit bekommst du auf g den punkt P und auf h Q, deren abstand d = |PQ| ist der gesuchte.

zur erläuterung: P erfüllt g, von P aus "gehst" du senkrecht zu g und h, bis du auf den punkt Q, der auf h liegt; kommst.

variante 2)

du weißt der verbindungsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ steht auf beide richtungsvektoren senkrecht, daher kann man mit dem skalarprodukt arbeiten:

$\begin{eqnarray*} (\vec{g}-\vec{h})\cdot \vec{r}_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\vec{g}-\vec{h})\cdot \vec{r}_2=0 \end{eqnarray*}$

da hast du nur 2 parameter zu bestimmen smile

$\begin{eqnarray*} \vec{g} \end{eqnarray*}$ steht symbolisch für die geradengleichung von g

ok verwirrt

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