int(exp(-x^2))

21.01.2009, 12:05

Lara2000

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int(exp(-x^2))

Hallo,
$\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx)^2=(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx)*(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^2}}dy)= \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2}}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}{e^{-r^2}r}drd\phi \end{eqnarray*}$

Zu der Lösung hätte ich ein paar Fragen:

1: Warum kann man das Integral so einfach quatrieren?
2: Wieso kann man ein x einfach in ein y umbenennen?
3: Wieso kann man das Integral zusammenziehn ( Ich dachte das geht nur bei Addition)
4: Also eindimensional ist das Integral nicht lösbar aber mehrdimensional. Das versteh ich nicht warum gibts dann eindimensional keine Lösung. Gibs irgenwo einen Beweis das dies auch die richtige Lösung ist?

Ich bedanke mich schonmal im Vorraus für eure Hilfe

21.01.2009, 12:19

klarsoweit

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von Lara2000
1: Warum kann man das Integral so einfach quatrieren?

Man sucht den Wert einer positiven Zahl. Wenn man das Quadrat der Zahl kennt, dann kennt man auch die ursprüngliche Zahl.

Zitat:

Original von Lara2000
2: Wieso kann man ein x einfach in ein y umbenennen?

Ob man über x oder y oder z oder hugo integriert, ist doch völlig wurscht. Das ändert doch nichts am Wert des Integrals.

Zitat:

Original von Lara2000
3: Wieso kann man das Integral zusammenziehn ( Ich dachte das geht nur bei Addition)

Das ist erlaubt wegen dem Satz des Fubini.

Zitat:

Original von Lara2000
4: Also eindimensional ist das Integral nicht lösbar aber mehrdimensional. Das versteh ich nicht warum gibts dann eindimensional keine Lösung.

Man kennt eben keine geschlossene Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ , aber von $\begin{eqnarray*} r \cdot e^{-r^2} \end{eqnarray*}$ .

21.01.2009, 12:23

Dual Space

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RE: int(exp(-x^2))
Noch eine Ergänzung zu 2): Wenn du es partout nicht einsiehst, wieso man ein "umbenennen" darf, dann substituiere doch einfach x=y.

21.01.2009, 12:39

Heinzer

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RE: int(exp(-x^2))
Das Ganze lässt sich doch zurückführen auf

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 12:57

klarsoweit

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RE: int(exp(-x^2))
Ja. Nur fällt auch dieser Integralwert nicht vom Himmel. smile

smile

21.01.2009, 13:08

Heinzer

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja. Nur fällt auch dieser Integralwert nicht vom Himmel. smile

smile

Vom Himmel nicht - aber die Gammafunktion z.B. wäre eine Möglichkeit.

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21.01.2009, 15:02

AD

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Zitat:

Original von Heinzer
Vom Himmel nicht - aber die Gammafunktion z.B. wäre eine Möglichkeit.

Ohne dir auf die Füße treten zu wollen: Den Zweck der vorliegenden Aufgabe hast du wohl verkannt. Oder willst ihn verkennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.01.2009, 15:11

Leopold

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von Heinzer

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja. Nur fällt auch dieser Integralwert nicht vom Himmel. smile

smile

Vom Himmel nicht - aber die Gammafunktion z.B. wäre eine Möglichkeit.

[Ironie]Vielleicht ginge es ja auch mit einem elliptischen Integral 2. Art. Ich mein' ja nur ...[/Ironie]

EDIT
Tags ergänzt (damit's auch jeder kapiert).

21.01.2009, 15:17

Heinzer

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Nö,
es geht doch eigntlich um int(exp(-x^2)) und da führen nun mal verschiedene Wege zum Ziel.
Der über die Gammafunktion geht an den gestellten Fragen vorbei.

21.01.2009, 15:17

Leopold

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Was hinter diesem Doppelintegral und der Transformation in Polarkoordinaten steckt, wird hier veranschaulicht.

21.01.2009, 15:55

Heinzer

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von Leopold
[Ironie]Vielleicht ginge es ja auch mit einem elliptischen Integral 2. Art. Ich mein' ja nur ...[/Ironie]

EDIT
Tags ergänzt (damit's auch jeder kapiert).

Warum die Schelte?

Elementarer als mit der Theorie der Gammafunktion (Infini I Stoff!!!) ist das kaum zu machen.

Aus der Vorlesung ist doch meistens bekannt das:

$\begin{eqnarray*} \Gamma\left(\frac 1 2 \right)=\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

oder sogar

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin{\pi x}}. \end{eqnarray*}$

Und sollte dem nicht so sein dann liefert

$\begin{eqnarray*} B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \end{eqnarray*}$

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t=\sin^2\alpha \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=2 \int_0^\frac{\pi}{2}(\sin{\alpha})^{2x-1}(\cos{\alpha})^{2y-1}d\alpha. \end{eqnarray*}$

Mit x=y=1/2 ist man dann auch da.

21.01.2009, 16:42

Leopold

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von Heinzer
Warum die Schelte?

Elementarer als mit der Theorie der Gammafunktion (Infini I Stoff!!!) ist das kaum zu machen.

Es gibt ja auch Leute, die den Flächeninhalt eines Dreiecks, von dem Grundseite und Höhe bekannt sind, berechnen, indem sie es in ein kartesisches Koordinatensystem legen und das Volumenelement $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ über den Dreiecksbereich unter Anwendung des Satzes von Fubini integrieren.

Ich hätte mich wohl nicht einmischen sollen. Denn eigentlich hat Arthur in seinem letzten Beitrag schon alles dazu gesagt.

21.01.2009, 17:05

Heinzer

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Heinzer
Warum die Schelte?

Elementarer als mit der Theorie der Gammafunktion (Infini I Stoff!!!) ist das kaum zu machen.

Es gibt ja auch Leute, die den Flächeninhalt eines Dreiecks, von dem Grundseite und Höhe bekannt sind, berechnen, indem sie es in ein kartesisches Koordinatensystem legen und das Volumenelement $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ über den Dreiecksbereich unter Anwendung des Satzes von Fubini integrieren.

Kann sein, dass es die gibt. Was willst Du denn damit sagen?

Wenn gerade wegen Fubini, Polarkoordinatentransformation, etc. ein Lösungsweg nicht verstanden wird, dann kann mal doch mal aufzeigen wie's mit elementaren Methoden auch geht (m.E. sogar einfacher). Ich seh immer noch nichts Verwerfliches daran.

18.08.2011, 14:26

mathinitus

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RE: int(exp(-x^2))

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Lara2000
3: Wieso kann man das Integral zusammenziehn ( Ich dachte das geht nur bei Addition)

Das ist erlaubt wegen dem Satz des Fubini.

Ist es nicht viel mehr die Linearität des Integrals?

18.08.2011, 14:30

Airblader

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Nein, es ist der Satz von Fubini. Die Linearität gilt nur bzgl. Addition, hier werden Integrale aber multipliziert.

air
P.S.: Der Thread ist schon ein paar Jahre alt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.08.2011, 14:32

mathinitus

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Zitat:

Original von Airblader
Nein, es ist der Satz von Fubini. Die Linearität gilt nur bzgl. Addition, hier werden Integrale aber multipliziert.

air
P.S.: Der Thread ist schon ein paar Jahre alt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Mathematik ist aber noch die gleiche.

$\begin{eqnarray*} (\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx) \cdot (\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-y^2}}dy)= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2}}dxdy \end{eqnarray*}$

Das soll Fubini sein?

18.08.2011, 14:44

tmo

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Das ist in der Tat noch nicht Fubini, sondern nur die Homgenität (also eigentlich die Linearität) des Intergals (der konstante Faktor wird reingezogen).
Fubini wird erst benutzt, wenn man das Integral dann als Integral auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffasst, damit man die Transformation in Polarkoordinaten durchführen kann.

Du hattest also Recht.

18.08.2011, 14:46

mathinitus

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Zitat:

Original von tmo
Das ist in der Tat noch nicht Fubini, sondern nur die Homgenität (also eigentlich die Linearität) des Intergals (der konstante Faktor wird reingezogen).
Fubini wird erst benutzt, wenn man das Integral dann als Integral auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffasst, damit man die Transformation in Polarkoordinaten durchführen kann.

Genau so meinte ich das. Vielen Dank Wink

Wink

18.08.2011, 14:49

Airblader

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Stimmt natürlich. Sorry für meinen unbedachten Schnellschuss. traurig

traurig

air

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