geschlossen?

21.01.2009, 14:08

physstud

(a, infty] -> offen / geschlossen?

Hallo zusammen,

mir ist vorhin eine Frage aufgekommen:

Wenn ich das Intervall $\begin{eqnarray*} (a,\infty] \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ habe, ist das geschlossen oder offen? verwirrt

21.01.2009, 14:15

Airblader

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Edit: Moment, hier stand Unsinn. Augenzwinkern

air

21.01.2009, 14:18

physstud

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Hehe, hab mich schon gewundert Augenzwinkern

21.01.2009, 14:21

Airblader

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Ja, da habe ich mich kurz ver-"dacht". Augenzwinkern

Nochmalige Korrektur siehe zwei Posts weiter unten!

So .. nun aber. Die Bedingung/Definition als ein linksoffenes Intervall lautet

$\begin{eqnarray*} (a,\infty] = \{x \in \overline{\mathbb R} \,|\, a < x \leq \infty\} \end{eqnarray*}$

Nochmal Edit:
Es kommt darauf an, ob $\begin{eqnarray*} \infty = \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Und das dürfte es nicht, denn man definiert ja meist

$\begin{eqnarray*} c \cdot \infty = \infty\qquad\forall c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Diese Definition und obige Gleichheit würden jedoch bedeuten, dass alle Zahlen in den erweiterten reellen Zahlen gleich sind.
Ergo ist obige Gleichung wohl falsch und das Intervall kann nur offen sein (bzw. existiert in dieser Form nicht, sondern nur als offenes). So. Augenzwinkern

air

21.01.2009, 14:24

physstud

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ääähm? was ist denn das für eine bedingung? Big Laugh

21.01.2009, 14:25

Airblader

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[...]

Aber eine interessante Frage Augenzwinkern

Edit:
Allerdings ist das auch fraglich. Die erw. reellen Zahlen können nicht zum Körper erheben, da eben "Kürzen" aus Gleichungen wie 2*oo = 3*oo nicht problemlos möglich ist (s.o.).
Bevor man weiterredet, verwerfen wir alles und einigen uns erstmal darauf, wie du die Ordnungsrelation definierst und auf +- oo erweiterst. Augenzwinkern

Oder die zentrale Frage ist eben:

Gilt $\begin{eqnarray*} \infty = \infty \end{eqnarray*}$ ? An sich gilt das, Kürzen darf man dann aber nicht. Das ist natürlich knifflig. Aber wenn die Gleichung gilt, dann wäre das Intervall linksoffen.

air

21.01.2009, 14:35

physstud

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Hmmm, wir haben das Intervall als Halbstrahl aber in der Vorlesung benutzt, um bei topologischen Räumen die Messbarkeit von Funktionen zu überprüfen via

$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb{R}: f^{-1}((a,\infty])\in\mathfrak{M}\Rightarrow f~messbar \end{eqnarray*}$

*edit* Heisst das, es ist rechts geschlossen? *g* */edit*

21.01.2009, 14:35

tigerbine

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Keine Ahnung :-)
Nur eine Frage meinerseits. An welchem Intervallrand ist hier das Problem, was die Frage aufwirft. Über IR dürfte es die Schreibweise ja gar nicht geben. Nun haben wir die erweiterten reellen Zahlen, die die rechte ] ermöglichen?

Die Frage nach offen, oder geschlossen. Was ist denn mit der linken Seite. Dort ist a nicht in dem Intervall, also linksseitig offen? verwirrt

Somit kann es doch nicht geschlossen sein, oder? verwirrt

Wirft imho die Frage nach auf, was gilt für:

$\begin{eqnarray*} [a,\infty] \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 14:37

physstud

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RE: Keine Ahnung :-)
Ja entschuldige, ich interessiere mich für die rechte Seite, die linke ist offensichtlich offen.

21.01.2009, 14:43

Airblader

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Ich halte mich hier jetzt mal raus und lese lieber mit Freude mit, was dazu gesagt wird. Das Thema ist mMn knifflig.
Man definiert als das linksoffene Intervall ja alle Zahlen, die größer als a und kleinergleich +unendlich sind.

Also ist die Antwort doch simpel: Es IST linksoffen. Die Frage ist aber, ob oo nun enthalten ist oder nicht (was paradox klingt, da es in |R ein Widerspruch wäre, wenn es nicht enthalten wäre).

Wenn oo <= oo gilt, dann ist oo auch enthalten. Wenn es nicht gilt, dann ist es nicht enthalten und (a;oo] wäre das selbe wie (a;oo).

Ist mein momentaner Gedankengang ... Augenzwinkern

Und jetzt mal abwarten und lesen smile

air

21.01.2009, 14:45

physstud

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ja ich bin auch gespannt.. also physiker kenn ich mich nicht so mit den strengen definitionen aus und gerade diese frage scheint ja eine definitionsfolgerung zu sein Big Laugh

21.01.2009, 14:45

murks

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also...

das mit $\begin{eqnarray*} c\cdot\infty=\infty \end{eqnarray*}$ rauskürzen ist mumpitz, das ist genau das gleiche wie durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ kürzen, da kommt auch nichts gescheites bei raus Augenzwinkern

im endeffekt ist das einfach mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ mal nehmen und das zerstört ja jeglichen inhalt der gleichung...

das intervall ist meiner meinung nach definitv offen, da die bedingung $\begin{eqnarray*} \forall x\in M \exists\varepsilon>0: y\in M \forall y: |x-y|\leq\varepsilon: \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , was ja eigentlich die Probleme bereitet, erfüllt ist (meinetwegen mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ , das einzige $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , das in der Epsilon-Kugel liegt ist dann $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ selber...)

21.01.2009, 14:55

Airblader

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@murks

Dass das Gekürze Unsinn war, hatte ich ja inzwischen erkannt Augenzwinkern

Deine Folgerung finde ich nicht zweckbringend.
Das Intervall existiert ja auf jeden Fall (warum auch nicht?) und ist damit halboffen. Ob unendlich enthalten ist, ist die andere Frage, die man aber bejahen kann, wenn man oo=oo zulässt (was man ja durchaus kann).

"Offen" ist das Intervall allerdings keinesfalls.

air

21.01.2009, 14:58

physstud

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aber warum sollte $\begin{eqnarray*} x=x \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt sein?
Im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sollte das doch auf jeden Fall für jedes Element erfüllt sein, warum also in der Erweiterung $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ nicht auch für die beiden hinzugefügten Elemente $\begin{eqnarray*} -\infty,\infty \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2009, 15:03

Airblader

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Ich sage ja auch nicht, dass es nicht so ist - ganz im Gegenteil.

Da man $\begin{eqnarray*} a \cdot \infty := \infty\qquad \forall a \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ definiert, ist auch $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \infty = 1 \cdot \infty ~\Leftrightarrow~ \infty = \infty \end{eqnarray*}$

Das Intervall ist also halboffen. Ich möchte ja nur anmerken, dass es eben auch so definiert sein muss. Ohne eine ordentliche Def. der erw. reellen Zahlen ist die Diskussion etwas zwecklos.

air

21.01.2009, 15:10

physstud

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also offen vs halboffen *gg*

21.01.2009, 15:21

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Sinn oder Unsinn von Operationen $\begin{eqnarray*} c\cdot \infty = \infty \end{eqnarray*}$ sind hier völlig ohne Belang, es geht hier bei der Frage nach "offen/abgeschlossen" nicht um eine algebraische Struktur von $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ .

Was zählt, ist die Topologie von $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ . Und wie in jedem topologischen Raum ist die durch die Umgebungsbasen der einzelnen Punkte bestimmt:

Für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind das wie üblich die Intervalle $\begin{eqnarray*} (x-\varepsilon,x+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x=\infty \end{eqnarray*}$ sind das hingegen die Intervalle $\begin{eqnarray*} (K,\infty) \cup \{ \infty \} =: (K,\infty] \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} K\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x=-\infty \end{eqnarray*}$ sind das analog die Intervalle $\begin{eqnarray*} (-\infty,K) \cup \{ -\infty \} =: [-\infty,K) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} K\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

So ist $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ üblicherweise erklärt. Womit dann auch die Frage nach "offen/abgeschlossen" geklärt wäre, denn Umgebungen sind immer offen. Man sollte sich also nicht durch die eckige Klammer verwirren lassen. Augenzwinkern

P.S.: Man kann's auch mit einer geeigneten Metrik erklären, wenn man nicht bis ganz hinunter zum topologischen Raum fahren will...

21.01.2009, 15:24

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Womit dann auch die Frage nach "offen/abgeschlossen" geklärt wäre, denn Umgebungen sind immer offen.

Umgebungen brauchen nicht offen zu sein, sie enthalten aber immer offene Umgebungen.

21.01.2009, 15:42

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Ich dachte immer, zumindest die Umgebungen der Umgebungsbasis wären per Definition offen. Na ist lange her, vielleicht habe ich mich da getäuscht. Zumindest habe ich es versäumt oben anzugeben, dass ich nur von diesen Umgebungen rede.

21.01.2009, 15:49

Airblader

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So .. da lernt man also doch noch einiges dazu. Augenzwinkern

Darf ich in diese Diskussion nun wg. des kleinen Einwandes nochmal fragen, ob es nun wirklich offen ist?

@AD
Wenn es nicht zuviel verlangt wäre, würde ich gerne eine Erklärung mit Metrik haben - würde mich jedenfalls interessieren.

air

21.01.2009, 15:51

physstud

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hui also offen, trotz der eckigen Klammern.. Augenzwinkern

Und trotzdem ein Unterschied zu $\begin{eqnarray*} (a,\infty) \end{eqnarray*}$ . O mein Gott.. verwirrt

21.01.2009, 16:04

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@Airblader

$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\} \end{eqnarray*}$ ist z.B. mit Metrik

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = |\arctan(x) - \arctan(y)| \end{eqnarray*}$

ein metrischer Raum. Hierbei wird zusätzlich $\begin{eqnarray*} \arctan(-\infty) := -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \arctan(\infty) := \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ festgelegt, um die Metrikdefintion ordentlich zu komplettieren.

Wie in jedem metrischen Raum sind dann für reelle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ die Mengen

$\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) := \Big\{ y\in \overline{\mathbb{R}} \Bigm| d(x,y) < \varepsilon \Big\} \end{eqnarray*}$

offen, und das sind gerade die oben von mir genannten Mengen (wenn auch nicht mit demselben $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Wert Augenzwinkern

21.01.2009, 16:59

Leopold

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In diesem Zusammenhang verweise ich gerne auf diesen und die folgenden Beiträge. Statt $\begin{eqnarray*} \varphi(t) = \arctan t \end{eqnarray*}$ wird dort $\begin{eqnarray*} \varphi(t) = \frac{t}{1 + |t|} \end{eqnarray*}$ verwendet. Für die Topologie spielt das keine Rolle.

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