Grenzwert mit brüchen Wurzeln und ungleichen Potenzen

21.01.2009, 14:16

AxelF2001

Grenzwert mit brüchen Wurzeln und ungleichen Potenzen

Hallo alle erstmal alle Miteinander, ich bin Kai und studiere im ersten Semester Wirtschaftsinformatik.

Da ich mich mit einigen Aufgaben in der Analysis recht schwer tue, dachte ich ich Frag euch mal nach ein paar stützen.

Eine Aufgabe die mich schwer ans grübeln hält ist die folgende zur Grenzwertberechnung.

$\begin{eqnarray*} \frac{n\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{9n^3-1}} \end{eqnarray*}$

(Latex bezwungen)

Aber noch nicht die Aufgabe traurig

Mein Lösungsansatz is wie folgt...

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2(\sqrt{1-\frac{1}{4n^2}})}{\sqrt{9n^3-1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2}{\sqrt{9n^3-1}} \end{eqnarray*}$

Und dann verließen sie ihn, ich habe absolut eine ahnung was ich mit dem unteren Teil machen soll.

Wäre super wenn mir jemand nen denkanstoss geben könnte Freude

21.01.2009, 14:26

klarsoweit

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RE: Grenzwert mit brüchen Wurzeln und ungleichen Potenzen
Mit dem Nenner machst du ähnliches wie mit dem Zähler: ziehe n³ aus der Wurzel.

21.01.2009, 14:29

tigerbine

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RE: Grenzwert mit brüchen Wurzeln und ungleichen Potenzen
Alternativ nur mal die Schreibweise (dann erinnert es vielleicht mehr an die Schule?)

$\begin{eqnarray*} \frac{n\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{9n^3-1}} = \frac{\sqrt{4n^4-n^2}}{\sqrt{9n^3-1}} = \sqrt{\frac{4n^4-n^2}{9n^3-1}} \end{eqnarray*}$

Wink

21.01.2009, 15:09

AxelF2001

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RE: Grenzwert mit brüchen Wurzeln und ungleichen Potenzen
Sorry, irgendwie hilft mir beides noch nicht so richtig weiter,

wie bekomme ich das n^3 aus der Wurzel raus ??

würde das dann nicht so aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2}{3n^\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{1}{9n^3}}} \end{eqnarray*}$ ??

und das wäre doch

$\begin{eqnarray*} 6n^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und das hieß die formel wäre divergent

Und leider komme ich mit deiner Umstellung auch nicht viel weiter Tigerbine traurig

Es sei den wir hätten am ende irgendwie noch n^2 da stehen und das hieß zwar auch die formel wäre divergent aber nicht die selbe Lösung .... grübel

Ist sie den divergent?? (mal anders gefragt ??) und hätte man das eventuell schneller sehen können ?

Ich hab das ding mal in nen Graphenplotter eingetragen demnach muss die definitionslücke irgendwo bei 1/2 liegen... ich habe aber keine ahnung wie ich darauf kommen soll unglücklich

21.01.2009, 15:21

tigerbine

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RE: Grenzwert mit brüchen Wurzeln und ungleichen Potenzen

Zitat:

Original von tigerbine
Alternativ nur mal die Schreibweise (dann erinnert es vielleicht mehr an die Schule?)

$\begin{eqnarray*} \frac{n\sqrt{4n^2-1}}{\sqrt{9n^3-1}} = \frac{\sqrt{4n^4-n^2}}{\sqrt{9n^3-1}} = \sqrt{\frac{4n^4-n^2}{9n^3-1}} \end{eqnarray*}$

Wink

Ich finde das schon sehr schön, da man dann "sofort" sieht, dass der Nennergrad größer ist. Es somit nicht gegen eine Konstante Funktion konvergiert. Man kann dann analog wie bei gebrochen rationalen Funktionen vorgehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4n^4-n^2}{9n^3-1}} = \sqrt{\frac{n^3(4n-\frac{1}{n})}{n^3(9-\frac{1}{n^3})}} = \sqrt{\frac{4n-\frac{1}{n}}{9-\frac{1}{n^3}}} \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 15:33

AxelF2001

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Hey, sorry unter dem gesichtspunkt hast du recht,

ich war bloss so fixiert darauf das jede Aufgabe konvergent sien muss das ich habe versucht das krampfhaft zu lösen.

Danke nochmal Big Laugh

Echt super Forumleistung hier Freude

Danke dir Tigerbiene und auch dir klarsoweit smile

Hab mir grad mal meinen forum status angesehen Big Laugh

wie passend Big Laugh

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