Konvergenz von Markov-Ketten

21.01.2009, 15:54	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Markov-Ketten Hallo! Glaube ich habe gerade einen Denkfehler. Wenn ich mir eine Matrix z.b. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1-\alpha & \alpha \\ \beta & 1-\beta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<\alpha+\beta<2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha,\beta\in[0,1] \end{eqnarray}$ so ist doch nach http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius Theorem $\begin{eqnarray} A^n\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ Jedoch besagt doch der Ergodensatz mit ein Paar schwachen Vorraussetzungen, die meine Matrix erfüllt, das $\begin{eqnarray} A^n\overset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}\pi \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ eine invariante Verteilung sein sollte. Wäre für einen Rat oder Tipp dankbar....
22.01.2009, 03:57	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin jetzt etwas zu faul, alles genau nachzurechnen, aber: Ich vermute mal, dass die Existenz einer invarianten Verteilung zur Folge hat, dass ein Eigenwert auf jeden Fall 1 ist. Ich meine, eine invariante Verteilung ist einfach nur ein Eigenwert der transponierten Matrix B zur Eigenwert 1. Nach dem Spektralsatz dürfte dann B,B²,B³,... nicht gegen null streben. Aber wenn B nicht gegen null strebt, dann A auch erst recht nicht. Also folgende Matrix hat zumindestens 1 als Eigenwert: 1/3 2/3 1/3 2/3
22.01.2009, 10:33	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo das wohl auch der Punkt! Hab das alles zu schnell gelesen, wir reden im Theorem von Wiki ja nicht über eine Stochastische Matrix, den diese hat ja immer 1 als Eigenwert! Danke vielmals

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