Volumen von Rotationskörpern

21.01.2009, 16:08	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen von Rotationskörpern Hallo ich versuche gerade das Volumen zu berechen wenn ich den Graphen $\begin{eqnarray} G_f \end{eqnarray}$ um die y-Achse rotieren lasse. $\begin{eqnarray} f(x)=2e^{-x} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} V_y=\mid\pi\int_{a}^{b}~x^2 \cdot f'(x)~dx\mid \end{eqnarray}$ also hab ich $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ erstmal abgeleitet: $\begin{eqnarray} f'(x)=-2e^{-x} \end{eqnarray}$ ich soll das Volumen im Intervall $\begin{eqnarray} [0;2] \end{eqnarray}$ bestimmen (bezieht sich auf x-Achse da sich mein Ansatz auf die x-Achse bezieht) also erhalte ich: $\begin{eqnarray} V_y=\mid -2\pi\int_{0}^{2}~x^2e^{-x}~dx\mid \end{eqnarray}$ mein Problem ist nun das ich nicht weiß wie ich folgendes integral bestimme: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~x^2e^{-x}~dx \end{eqnarray}$ kann mir jemand sagen wie ich diesen term integrieren kann bzw. welche integrationsregel benutzen muss?
21.01.2009, 16:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst diesen Term leicht partiell integrieren, wirst es aber 2 mal machen müssen.
21.01.2009, 16:17	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~u'(x)\cdot v(x)~dx=u(x)\cdot v(x)- \int_{}^{}~u(x)\cdot v'(x)~dx \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} u'(x):=e^{-x} \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} v(x):=x^2 \end{eqnarray}$ ist. und dem entsprechend $\begin{eqnarray} u(x)=-e^{-x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v'(x)=2x \end{eqnarray}$ ist?
21.01.2009, 16:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt, das führt dazu dass du im rechten Integral wieder ein Produkt hast; wenn du das mit diesem Integral genauso machst wie mit diesem, hast du nur noch eine einfach e-Funktion ohne weiteren Variablen Faktor da stehen.
21.01.2009, 16:22	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke. hatte es schon mit partieller integration versucht habs aber iwie nicht hinbekommen. naja jetzt gings
21.01.2009, 16:51	DOZ ZOLE	Auf diesen Beitrag antworten »
so der vollständigkeit halber $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~e^{-x}\cdot x^2~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-x^2e^{-x}-\int_{}^{}~-2xe^{-x}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-x^2e^{-x}+2\int_{}^{}~xe^{-x}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-x^2e^{-x}+2 \cdot [-xe^{-x}+\int_{}^{}~e^{-x}~dx] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-x^2e^{-x}+2 \cdot [-xe^{-x}-e^{-x}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-x^2e^{-x}-2xe{-x}-2e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-e^{-x}\cdot (x^2+2x+2) \end{eqnarray}$ damit ergibt sich das gesuchte Volumen $\begin{eqnarray} V_y \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} V_y=\mid -2\pi\int_{0}^{2}~x^2e^{-x}~dx\mid=4\pi e^{-2}(e^2 - 5) \end{eqnarray}$
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21.01.2009, 17:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Und der vollvollständigkeitshalber würde ich einfach anmerken, dass es richtig aussieht - bin durchgegangen und habe keinen Fehler gefunden.

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