Homomorphismus

21.01.2009, 16:20	iggl	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus Sei R ein kommutativer Ring und $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N^+ \end{eqnarray}$ . Ist f : $\begin{eqnarray} R^{n,n} \end{eqnarray}$ --> R ein R-Homomorphismus mit f(AB) = f(BA) für alle $\begin{eqnarray} A,B\in R^{n,n} \end{eqnarray}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f = r\cdot spur \end{eqnarray}$ (d.h. f(A) = r spurA für alle $\begin{eqnarray} A\in ^{n,n} \end{eqnarray}$ ). ich sehe hier keine so richtige aufgabenstellung von meinem Prof. darin, vlt kann mir jmd. weiter helfen. ich denke mal ich soll das zeigen, dass das gilt, aber selbst dafür fehlt mir der ansatz, bilck da nicht so recht durch, vlt kann mir jmd helfen, wäre nett.
21.01.2009, 17:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ diejenige Matrix mit $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ als dem Element in der $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ -ten Spalte und Nullen sonst. Die Matrizen $\begin{eqnarray} E_{ij}; \, 1 \leq i,j \leq n \end{eqnarray}$ erzeugen den Matrizenraum. Es gelten die Regeln $\begin{eqnarray} E_{ij} E_{lk} = 0 \ \ \mbox{für} \ \ j \neq l \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{ij} E_{jk} = E_{ik} \end{eqnarray}$ Jetzt folgt nach Voraussetzung: $\begin{eqnarray} f \left( E_{ik} \right) = f \left( E_{ij} E_{jk} \right) = f \left( E_{jk} E_{ij} \right) \end{eqnarray}$ Betrachte nun die beiden Fälle $\begin{eqnarray} i \neq k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i=k \end{eqnarray}$ und ziehe Folgerungen daraus. (Jetzt hoffe ich nur, daß bei euch kommutative Ringe immer ein Einselement besitzen.)

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