Inverse eine Matrix

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21.01.2009, 17:58	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse eine Matrix Hey liebe Matheexperten, muss zur folgenden Matrix die Inverse bestimmen. Irgendwie will es nicht so recht klappen. Habs bis zum Ende geschafft, aber bei der Überprüfung ( A^-1 * A = E) wird deutlich, dass meine Inverse doch falsch sein muss. Und mit Excel kann ich das Ergebnis auch nicht simulieren, da die Matrix allgemein ist, spricht Buchstaben beinhaltet. hier ist die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & y \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin auf euch angewiesen. wäre wirklich sehr dankbar. Danke!!
21.01.2009, 18:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn als (falsches) Ergebnis heraus?
21.01.2009, 18:08	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo leopold, danke für die schnelle antwort. folgendes habe ich heraus bekommen: $\begin{eqnarray} A^{-1}= \begin{pmatrix} {-}\frac{1}{x} & \frac{1}{xy} \\ \frac{1}{xy} & {-}\frac{1}{y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
21.01.2009, 18:38	hiro protagonist	Auf diesen Beitrag antworten »
im nenner sollte jeweils (xy-1) stehen; das ist die determinante der matrix... dann könntest du auch nicht so grosszügig kürzen.
21.01.2009, 19:50	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.... finde den fehler nicht. ich setze meine rechnung einfach mal rein. hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} {x} & {1} \\ {1} & {y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1. Schritt: $\begin{eqnarray} {berechne \cdot({-}\frac{1}{x})} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} {x} & {1} \\ {0} & {-y} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} {1} & {0} \\ {-}\frac{1}{x} & {1} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Schritt: $\begin{eqnarray} {berechne (\cdot\frac{1}{y})} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} {x} & {0} \\ {0} & {-y} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} {-1} & {\frac{1}{y}} \\ {-}\frac{1}{x} & {1} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Puh! das war jetzt eine Menge Arbeit als Latex- Laie. Habe die ersten 2 Schritte niedergetippt. Könnt ihr da einen Fehler entdecken, oder ist bis dahin alles soweit richtig??
21.01.2009, 20:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Muß man das jetzt verstehen? Nach mehrmaligem Durchlesen vermute ich, daß du im ersten Schritt das $\begin{eqnarray} \left( -\frac{1}{x} \right) \end{eqnarray}$ -fache der ersten Zeile zur zweiten addiert hast, nein, addieren wolltest. Dann muß doch aber das Element rechts unten ganz anders heißen. Und wenn du so vorgehst, mußt du den Fall $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ gesondert behandeln. Denn so erfaßt du den nicht. Und mache runde Klammern, sonst könnte man das mit der Determinante verwechseln.
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21.01.2009, 21:12	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hast du richtig verstanden. ja das x ungleich 0 sein muss ist klar. welches element müsste dann anders sein?
22.01.2009, 09:39	hiro protagonist	Auf diesen Beitrag antworten »
versuch mal das: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc\|cc} {x} & {1} & 1 & 0 \\ {1} & {y} & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ 1. Schritt: berechne $\begin{eqnarray} y \cdot (1) - (2) \end{eqnarray}$ (wobei (1) die erste und (2) die zweite zeile ist) als neue erste zeile und $\begin{eqnarray} x \cdot (2) - (1) \end{eqnarray}$ als neue zweite zeile: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array} {cc\|cc} xy-1 & 0 & y & -1 \\ 0 & xy-1 & -1 & x \end{array} \right) \end{eqnarray}$ dann nur noch durch $\begin{eqnarray} xy-1 \end{eqnarray}$ dividieren und fertig. eine direkte formel für 2x2 matrizen gibts auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Reguläre_Matrix nur so (wegen dem kommentar weiter oben): diese matrix ist auch regulär, wenn x=0 ist.
23.01.2009, 00:07	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm..... du bist da jetzt total anders vorgegangen. das ist jetzt aber nicht mehr das übliche gauß- eliminationsverfahren oder? wie kommst du drauf die 1. zeile mit y zu multiplizieren, spricht $\begin{eqnarray} y \cdot (1) - (2) \end{eqnarray}$ ???? mir ist zwar klar , dass es richtig ist. habe es jetzte auch endlich selbst rausgekriegt - nur auf einen viel umständlicheren weg. kannst du mir bitte den gedankengang zu deiner vorgehensweise erklären?
23.01.2009, 00:08	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
PS: die determinante haben wir gar nicht durchgenommen. ich weiß ehrlich gesagt nicht einmal was das ist. es ist nämlich nicht in unseren lehrplan vorgesehen.
23.01.2009, 00:35	hiro protagonist	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, sorry, vergiss die determinante. die brauchen wir nicht. und doch: das ist ganz normale gauss eilimination: ich addiere/subtrahiere das vielfache einer zeile zum vielfachen einer anderen zeile. ich bin so vorgegangen, damit ich die beiden nullen hinkriege. sobald alle elemente ausserhalb der diagonalen null sind, ist schon fast alles erledigt.
23.01.2009, 11:51	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt. nach intensivem nachdenken verstehe ich nun wie du - und vor allem warum du so - vorgegangen bist. danke nochmal. ist wirklich klasse dieses forum hier.

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