Beweis Metrik

21.01.2009, 18:50

imag

Beweis Metrik

Hallo
Will folgende Aufgabe lösen: Zeige, dass durch
$\begin{eqnarray*} d(x,y):=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( x,y \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$
eine Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
ich weiß das ich 3 Axiome überprüfen muss, und zwar:
1) Definitheit:
d(x,y)=0, falls x=y und d(x,y)>0, falls $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$
Dazu habe ich folgendes:
x=y: $\begin{eqnarray*} d(x,x)=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{x}{1+\mid x\mid}\mid=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} d(x,y):=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid>0 \end{eqnarray*}$ hier weiß ich nicht ob ich das noch näher beweisen kann muss...??
2) (Symmetrie)
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid=\mid \frac{y}{1+\mid y\mid}-\frac{x}{1+\mid x\mid}\mid=d(y,x) \end{eqnarray*}$
3) (Dreiecksungleichung)
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{z}{1+\mid z\mid}+\frac{z}{1+\mid z\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid\leq\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{z}{1+\mid z\mid}\mid+\mid\frac{z}{1+\mid z\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid=d(x,z)+d(z,y) \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig wie ich das gezeigt habe und genügt das so? wäre nett wenn jemand drüberschauen könnte!

21.01.2009, 19:35

Romaxx

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Hallo,

2) und 3) stimmt soweit.

1) stimmt nicht ganz .

Du musst zeigen $\begin{eqnarray*} d(x,y)=0 \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Was du gezeigt hast, ist $\begin{eqnarray*} x=y \Rightarrow d(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Der andere Teil zu Erstens kannst du durch die Definition des Betrages begründen.

21.01.2009, 19:49

imag

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RE: Beweis Metrik
zu 1)
das heißt ich habe
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid=0 \end{eqnarray*}$ dann muss x=y sein da diese gleichung nur dann gilt. reicht das als begründung?
zu dem zweiten teil: wenn $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ dann muss der betrag größer 0 sein (s. Def Betrag)
Bin mir nicht sicher ob das als Begründung ausreicht. weiß allerdings auch nicht wie ich das noch anders begründen kann.

21.01.2009, 20:12

Romaxx

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RE: Beweis Metrik

Zitat:

Original von imag
zu 1)
das heißt ich habe
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid=0 \end{eqnarray*}$ dann muss x=y sein da diese gleichung nur dann gilt.

Wer sagt uns denn, das nur bei x=y die Lösung 0 herauskommt? Gerade das ist doch näher zu begründen.

Versuche von der Gleichung d(x,y)=0 durch äquivalente Umformungen auf die Aussage zu gelangen.

21.01.2009, 20:13

Felix

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Mach dir damit nicht soviel Stress, im Prinzip ist 1) und 2) ja "trivial".

Deine Begründung reicht also auf jeden Fall, wenn du dennoch genau begründen willst, dann verwende die Betragsaxiom 1), welches auch sagt, dass $\begin{eqnarray*} \mid a \mid = 0 \Rightarrow a=0 \end{eqnarray*}$ .

Bei zwei gibt es 3 Fälle entweder $\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid \end{eqnarray*}$ ist gleich 0 kleiner 0 oder größer Null. Für =0 ist das ganze erst Recht trivial und für kleiner Null "macht der Betrag das ganze ja weder positiv".

Aber wie gesagt das ist eigentlich viel zu aufwendig, da es ja sehr leicht einzusehen ist ...

lg

21.01.2009, 20:25

Romaxx

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Zitat:

Original von Felix

Aber wie gesagt das ist eigentlich viel zu aufwendig, da es ja sehr leicht einzusehen ist ...

lg

Aufwendig hin oder her, ein korrekter Beweis ist diese Begründung nicht und gerade wenn man am Anfang seines Mathematikstudiums steht, ist es wichtig, sich mit solchen Dingen systematisch auseinanderzusetzen.

21.01.2009, 20:39

imag

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RE: Beweis Metrik
ich weiß nicht recht wie ich das umforem kann. der betrag stört mich irgendwie.... kannst du mir einen tipp geben?

21.01.2009, 20:42

Felix

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Du hast schon recht, nur in diesem Fall, ist es mMn nicht nur offensichtlich, dass es so ist sonder auch warum es so ist.

Kann natürlich nicht schaden das ganze ausführlich zu begründen ...

lg

21.01.2009, 20:43

Felix

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Zitat:

Original von Felix
Verwende das Betragsaxiom 1), welches auch sagt, dass $\begin{eqnarray*} \mid a \mid = 0 \Rightarrow a=0 \end{eqnarray*}$ .

lg

21.01.2009, 20:53

imag

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}=0\Leftrightarrow\frac{x}{1+\mid x\mid}=\frac{y}{1+\mid y\mid}\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
stimmt das so?
meine argumetation für >0 reicht die so?

21.01.2009, 20:58

Felix

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Wenn du schon so genau bist dann solltest du auch noch sagen, dass du aufgrund des Betragaxioms 1) von $\begin{eqnarray*} \mid \frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}\mid =0 \end{eqnarray*}$ auf [latex\frac{x}{1+\mid x\mid}-\frac{y}{1+\mid y\mid}=0[/latex] kommst

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