Vektorrechnung: Vervielfachung

21.01.2009, 20:04

I.C.K.

Vektorrechnung: Vervielfachung

Hallo,
ich habe bei ein paar Aufgaben Schwierigkeite, diese zu lösen.

1. Aufgabe:
Gegeben ist ein Dreieck ABC durch den Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{OA} \end{eqnarray*}$ der Ecke A und die Seitenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ . Ferner ist Ma (wusste nicht wie man das a unter das M kriegt, bitte dazu denken, auch bei den weiteren M's) der Mittelpunkt der Seite $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ , Mb der Mittelpunkt der Seite $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ .
Stelle die Vektoren $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\vec{AMa} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\vec{BMb} \end{eqnarray*}$ mittels der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ dar.

Ich hab bei $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\vec{AMa} \end{eqnarray*}$ das hier raus: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\vec{u} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\vec{v} \end{eqnarray*}$ . Nur bei $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\vec{BMb} \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht weiter.

2. Aufgabe:
Geben Sie die folgenden Vektoren mithilfe der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ an. Die Punkte X, Y und Z sind die Mittelpunkte der Seiten.
Aufgabenteil a)

http://img179.imageshack.us/img179/4827/matheyj9.jpg
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$

Folgende Vektoren sind anzugeben:
(1) $\begin{eqnarray*} \vec{AX} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \vec{XY} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} \vec{CZ} \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \vec{ZC} \end{eqnarray*}$
(5) $\begin{eqnarray*} \vec{YB} \end{eqnarray*}$
(6) $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$
(7) $\begin{eqnarray*} \vec{AY} \end{eqnarray*}$
(8) $\begin{eqnarray*} \vec{AZ} \end{eqnarray*}$

Aufgabenteil b)

http://img255.imageshack.us/img255/7513/mathe2kr0.jpg
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{AD} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\vec{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{DC} \end{eqnarray*}$

Folgende Vektoren sind anzugeben:
(1) $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} \vec{DB} \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \vec{XA} \end{eqnarray*}$
(5) $\begin{eqnarray*} \vec{BZ} \end{eqnarray*}$
(6) $\begin{eqnarray*} \vec{XZ} \end{eqnarray*}$
(7) $\begin{eqnarray*} \vec{YZ} \end{eqnarray*}$
(8) $\begin{eqnarray*} \vec{YB} \end{eqnarray*}$

Muss man das mit dieser Mittelpunktsformel berechnen ?
Aber die gilt doch nur für Ortsvektoren, oder irre ich mich da ?

Wäre sehr nett wenn ihr mir helfen würdet, besonders bei der 2. Aufgabe.
Bin gerade echt verzweifelt traurig

21.01.2009, 20:14

IfindU

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Ich übernehm mal Aufgabe 2, vlt nachher auf Aufgabe 1 wenn bis dahin sie erklärt hat:

a) Du hast den Vektor a und b gegeben. Jetzt musst du die Vektoren so geschickt addieren/subtrahieren, dass du auf die gesuchten Vektoren kommst. Beim ersten kannst du z.B. bei A starten und dann nach C gehen (Minus Vektor b) und dann von C halb runter zu B gehen (0.5 * Vektor a). Also wäre Vektor AX das gleiche wie $\begin{eqnarray*} -\vec{b} + 0.5 \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$

So kannst du das bei allen machen. Starte immer bei dem Startpunkt des Vektors und versuche über die anderen Vektoren den Weg "nachzuvollziehen", bis du beim Endpunkt bist.

b) Genau das gleiche, nur diesmal ist es ein Trapez.

Zu 1 erstmal was zu Latex

code:
1:	M_{a}

wird zu $\begin{eqnarray*} M_{a} \end{eqnarray*}$

21.01.2009, 20:27

I.C.K.

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Erstmal vielen Dank smile

Aber wenn ich jetzt bei 9a (3) von C zu Z möchte, wie soll ich das in Vektoren ausdrücken ? Es ist doch gar kein Vektor von A zu B angegeben verwirrt

21.01.2009, 20:31

IfindU

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Es ist vielleicht keiner von angegeben, aber es war auch keiner von X nach Y angegeben, und doch hast du es gelöst wie ich es annahme Augenzwinkern

Sie es einfach als Aufgabe in einer Aufgabe.

21.01.2009, 20:34

I.C.K.

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Zitat:

Original von IfindU
Es ist vielleicht keiner von angegeben, aber es war auch keiner von X nach Y angegeben, und doch hast du es gelöst wie ich es annahme Augenzwinkern

Ja, weil ich die auf der Strecke BC und CA liegen, und bei denen der Vektor angegeben ist.
Aber müsste es nicht in diesem Fall sein:
$\begin{eqnarray*} \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AB} \end{eqnarray*}$ ?
Dann könnte ich es ja über dieses Verhältnis berechnen.

21.01.2009, 20:41

IfindU

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Fast, du musst die Richtung mitbetrachten. Ich weiß nicht was du mit Verhältnissen meinst, aber du kannst z.B. erstmal die Aufgabe lösen und AB verwenden, und dann im letzten Schritt den Vektor AB durch die Summe ersetzen.

21.01.2009, 20:46

I.C.K.

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Ok, dann hätte ich jetzt bei 9 a) (3) folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ - 0,5*( $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ )

21.01.2009, 20:51

IfindU

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Jop, das passt so. Groß an Herausforderungen scheint es da nicht zu geben. Vlt schaffst du ja nun sogar Aufgabe 1 ohne Erklärung Augenzwinkern

21.01.2009, 21:06

I.C.K.

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Die Frage ist vielleicht ein bisschen einfältig, aber vorsichtshalber:
Kann man Vektoren gleicher Art zusammenfassen ?
Also wenn ich - $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ + 0,5 $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ habe, kann ich dann -0,5 $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ schreiben ?

21.01.2009, 21:14

IfindU

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Kann man: Du kannst dir ja vorstellen: - Vektor a führt dich von C zu B, und +0.5 Vektor a bringt dich zu x; also hättest du gleich nur (- Vektor a)/2 gehen können.

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