Summenformel - Bernoulli

05.09.2006, 21:13

blondi

Summenformel - Bernoulli

Hi!

Ich habe eine Frage:

Könnte mir jemand sagen, wie man mit der Bernoulli-(Summen)formel folgende Sachen berechnet:

P(X = k)
P(X <= k)
P(X >= k)
P(X < k)
P(X > k)
P(k1 <= X <= k2)
P(k1 >= X >= k2)

Also was ich meine ist nicht "in die Tabelle gucken...), sondern zum Beispiel "man berechnet P(k1 <= X <=k2) durch 1 - ********* "

Ich hoffe ihr versteht was ich meine. Vielen Dank schonmal!

05.09.2006, 21:24

xrt-Physik

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Für P(X = k) gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X = k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Und für P(X => k):

P(X => k) = 1 - P(X =< k-1)

$\begin{eqnarray*} P(X =< k)= \sum_{i=0}^k~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}p^{i}(1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

P(X > k) = 1 - P(X =< k)
P(X < k) = 1 - P(X => k)

05.09.2006, 21:36

blondi

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Danke, genau das meinte ich smile

weiß noch jemand, wie das für

P(k1 <= X <= k2)
P(k1 >= X >= k2)

ist?

05.09.2006, 21:44

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Du solltest nicht versuchen, dir hunderte solcher Formeln merken zu wollen. Sondern versuchen sie zu begreifen und dann auf leicht andere Situationen anzupassen:

$\begin{eqnarray*} P(k_1\leq X \leq k_2) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Werte zwischen $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ ,
einschließlich der Grenzen, annehmen kann. Anders formuliert: die Werte $\begin{eqnarray*} k_1,k_1+1,k_1+2,\ldots, k_2-1,k_2 \end{eqnarray*}$ .

Und das in eine Formel gegossen, ist die Summe der zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten für diese Werte:

$\begin{eqnarray*} P(k_1\leq X \leq k_2) = \sum\limits_{i=k_1}^{k_2} ~ \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

Alles andere ist nur sinnlose Ressourcenvergeudung.

05.09.2006, 22:19

blondi

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Sicher ist das diese "Formel", aber wie setze ich das praktisch um? (ohne alle werte einzeln zu addieren/subtrahieren)

05.09.2006, 22:38

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Zitat:

Original von blondi
aber wie setze ich das praktisch um? (ohne alle werte einzeln zu addieren/subtrahieren)

Leider ist es genau das was du da tun musst. Wenn die Summe allerdings mehr als die Hälfte, also mehr als $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ Summanden enthält, ist es effizienter über das Komplement zu gehen, also (1-Rest).

Eine weitere Möglichkeit ist die Normalverteilungsapproximation, aber das ist dann - wie der Name sagt - nur eine Approximation, also keine exakte Rechnung.

05.09.2006, 22:50

blondi

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ok, alles klar, verstanden. vielen dank und schönen abend noch

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