Untervektorräume (Basis und Dimension)

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Svenja1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume (Basis und Dimension)
Wink Wink

Gegeben seien die beiden Untervektorräume des

.

(1) Geben Sie die Dimension und eine Basis von an.

(2) Geben Sie die Dimension und eine Basis von an.


So, habe mal mit der (1) angefangen:



Stimmt das? Hat das dann überhaupt eine Dimension und Basis?

Bei der (2) habe ich noch keine Idee, wie aussieht.

Danke für Hilfe. smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume (Basis und Dimension)
(1) Ist schonmal richtig, man kann den Durchschnitt aber auch anders ausdrücken, einfach indem man alle Vektoren angibt. Viele sinds nicht.

Eine Dimension hat der Durchschnitt auch und zwar genau die Anzahl der Basiselemente. Gib doch mal eine Tipp ab, was die Dimension sein könnte.

(2) Lässt sich über den Dimensionssatz machen, man muss sich halt vorher überlegen, wie groß die Dimensionen von und sind, mit der Dimension des Durchschnitts erhält man dann auch die Dimension der Summe.
Svenja1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume (Basis und Dimension)
Zitat:
Original von Reksilat
Eine Dimension hat der Durchschnitt auch und zwar genau die Anzahl der Basiselemente. Gib doch mal eine Tipp ab, was die Dimension sein könnte.


Eigentlich hat dieser Durchschnitt nur das eine Basiselement: (0,0,0). Also Dimension 1.

Zitat:
Original von Reksilat
(2) Lässt sich über den Dimensionssatz machen, man muss sich halt vorher überlegen, wie groß die Dimensionen von und sind, mit der Dimension des Durchschnitts erhält man dann auch die Dimension der Summe.


Dimension von = 3
Dimension von = 1



Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume (Basis und Dimension)
Der Durchschnitt hat insgesamt nur ein Element, den Nullvektor. Für irgendwelche Linearkombinationen ist der auch nicht zu gebrauchen, die Dimension des Durchschnitts ist 0, denn ich kann ihn mit der leeren Menge erzeugen.

Das kann man sich auch leicht geometisch veranschaulichen:
2-dimensional: eine Ebene
1-dimensional: eine Gerade
0-dimensional: ein Punkt

Wie Du erkennen kannst, erfüllt die Menge {0} alle Vektorraumaxiome und ist somit ein 0-dimensionaler VR.

(2):
geschockt
Dann wäre ja und das kann nicht gelten.
(Ist V eine n-dimensionaler VR und U ein Unterraum von V der Dimension n, dann ist U=V)
Es gibt ja immerhin Vektoren in , die nicht in liegen, also

Versuche nun zwei linear unabhängige Vektoren in zu finden.
Svenja1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume (Basis und Dimension)
Zitat:
Original von Reksilat
Versuche nun zwei linear unabhängige Vektoren in zu finden.


zum Beispiel: (1,-1,0) und (0,1,-1).

ist also 2?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume (Basis und Dimension)
Richtig!

Und damit
 
 
Svenja1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume (Basis und Dimension)


Aber was ist jetzt eine Basis davon? verwirrt

(1,-1,0), (0,0,0), (0,1,-1) ?
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du da nicht noch die Dimension des Schnittes der Unterräume abziehen ?
Achja der Nullvektor ist immer linear abhängig
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

@SilverBullet: Der Durchschnitt hat ja die Dimension null, wie wir oben schon gesehen haben.

@Svenja: ist ein dreidimensionaler Unterraum des , also kann es ja nur der selbst sein und zu dem wird Dir doch eine Basis einfallen.
(Habe ich übrigens auch schon oben angedeutet.)

Alternativ kannst Du auch eine Basis von und eine von nehmen und diese vereinigen. Auf diesem Prinzip beruht ja auch der Beweis des Dimensionssatzes, schau ihn Dir ruhig noch mal an.
Lesen1
Svenja1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank smile
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