Basis des Kerns

22.01.2009, 17:40

Hängemathe

Basis des Kerns

Eigentlich habe ich mit dem Gauß-Algorithmus keine Probleme. Eigentlich.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 1 \\ 3 & 8 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 &1 \end{pmatrix} , \vec{b} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu berechnen war

a) Die Lösungsmenge von Ax=b

LGS auf NZSF gebracht, Parameter festgelegt und Lösungsmenge angegeben.

b) Basis des Bildes

LGS bereits in NZSF, die Spalten die eine Kopfvariable führen sind in der Ursprungsmatrix die Basisvektoren. Da die Dimension des Bildes 2 ist brauchte ich ergo auch zwei Basisvektoren. Alles berechnet, alles verstanden.

es bleibt c) Basis des Kerns, und damit habe ich nach wie vor so meine Probleme.

Mein Algorithmus sagt folgendes:

LGS in NZSF bringen (habe ich ja), und dann das homogene LGS betrachten, ergo ist die 5. Spalte überall null. Nun soll ich die 1. Kopfvariable 1 setzen respektive lassen und alle anderen Kopfvariablen=0 und das LGS lösen um den ersten Basisvektor zu erhalten, analoges dann für die weiteren Basisvektoren machen. Klingt einfach, raffe ich aber nicht. Setze ich die 1. Kopfvariable=1 und die andere=0 sieht meine erweiterte Koeffizientenmatrix so aus:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ich lese ab $\begin{eqnarray*} x_1+3x_4=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x_4=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich das der erste und vierte Eintrag des Vektors 0 sind, mehr aber nicht ?

22.01.2009, 18:04

klarsoweit

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RE: Basis des Kerns
Wie hast du die Matrix umgeformt? Bei mir entsteht keine Nullzeile.

22.01.2009, 18:08

Hängemathe

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RE: Basis des Kerns
Sorry,

die Matrix sieht eigentlich so aus, habe ein Minus vergessen (Aber nicht in meinen Rechnungen):

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 1 \\ 3 & 8 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.01.2009, 18:48

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RE: Basis des Kerns
In der 2. Spalte habe ich keine Nullen.

22.01.2009, 18:56

Hängemathe

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Da habe ich doch den 2. Kopf Null gesetzt nach dem Algorithmus.

Die NZSF lautet doch

$\begin{eqnarray*} NZSF_A= \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach dem Algorithmus zur Berechnung des Basisvektors Nr.1 bleibt der 1. Kopf gleich eins und alle anderen Köpfe werden zu Null. Dann löst man das homogene LGS und hat den ersten Vektor. Den zweiten erhält man dann analog mit dem ersten Kopf gleich Null und dem zweiten gleich eins. Steht bei mir jedenfalls so im Skript ?

22.01.2009, 19:22

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Also das Verfahren kenne ich nicht oder habe es (wie du es beschreibst) nicht verstanden.

Ich mache das so: die nicht-freien Variablen entsprechen jeweils den Spalten, wo in einer Zeile eine 1 und darunter nur Nullen stehen. Hier sind das x_1 und x_2. Die anderen Variablen (also x_3 und x_4) sind frei. Man setzt eine davon gleich 1, die andere(n) Null und löst dann sukzessive auf.

22.01.2009, 19:26

Hängemathe

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Meinst du man setzt eine der freien Variablen gleich 1 und die andere 0 oder eine der nicht-freien Variablen?

Und: Tut man dies in der NZSF und löst das homogene LGS oder in der ursprünglichen Matrix ?

22.01.2009, 19:30

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Zitat:

Original von Hängemathe
Meinst du man setzt eine der freien Variablen gleich 1 und die andere 0 oder eine der nicht-freien Variablen?

Man setzt eine der freien Variablen gleich 1 und alle anderen freien Variablen gleich Null. Dann Lösung bestimmen. Das Spiel wiederholt man, bis man alle freien Variablen Durch hat.

Zitat:

Original von Hängemathe
Und: Tut man dies in der NZSF und löst das homogene LGS oder in der ursprünglichen Matrix ?

Ist prinzipiell egal, aber natürlich mit der NZSF am einfachsten.

22.01.2009, 19:38

Hängemathe

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Super,

die Verwirrung löst sich. das Verfahren ist ja das selbe.

Ich sehe jetzt: Im Algorithmus in meinem Papierskript steht man soll die Kopf-Variablen 1 respektive 0 setzen.

Habe jetzt noch mal in der Online-Version nachgeguckt, da heißt es NICHT-KOPFVARIABLE, was natürlich ein gravierender Unterschied ist.

Schade, jetzt habe ich mir zwei Stunden unnötig den Kopf zerbrochen.

22.01.2009, 19:55

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Dann wird ein Schuh draus. Was im Script die NICHT-KOPFVARIABLEN sind, sind bei mir die freien Variablen. smile

22.01.2009, 21:31

Hängemathe

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Habe mich nochmal verschrieben, mal gucken ob es gleich hinhaut.

22.01.2009, 21:48

Hängemathe

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Fall 1: $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_4=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\cdot x_1 + 0 \cdot x_2+ 0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x_1 + 1 \cdot x_2+ 0 \cdot 0 - 1\cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x_1 + 0 \cdot x_2+ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \vec{b_1} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\cdot x_1 + 0 \cdot x_2+ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x_1 + 1 \cdot x_2+ 0 \cdot 1 - 1\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\cdot x_1 + 0 \cdot x_2+ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \vec{b_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So richtig ?

Die beiden Vektoren sind meine Basis des Kerns ;-)

23.01.2009, 08:29

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Ja.

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