Regelfläche

22.01.2009, 17:51	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Regelfläche Hi! Wir betrachten $\begin{eqnarray} \{(x,y,z)\in\mathbb R^3~\|~x^2-y^2=z\}\subset\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Ist dies eine Regelfläche? Eine Regelfläche lässt sich darstellen als: $\begin{eqnarray} f(t,s)=c(t)+s\cdot X(t) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine Kurve ist und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Vektorfeld. Der Ansatz $\begin{eqnarray} t\mapsto(x,y,z)+t(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray}$ führt dann durch Einsetzen auf folgende drei Gleichungen: $\begin{eqnarray} v_1^2-v_2^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2xv_1-2yv_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-y^2=z \end{eqnarray}$ Jetzt müssen wir alle Unbestimmten bestimmen. Nach der letzten Gleichung würde sich doch anbieten: $\begin{eqnarray} x=\cosh t,~y=\sinh t,~z=1 \end{eqnarray}$ (Hyperbolischer Pythagoras). Nur jetzt die Frage: Wie bestimme ich die anderen Unbestimmten und überhaupt: Ist der Ansatz überhaupt sinnvoll??? Wie kann man an die Aufgabe sinnvollerweise ran gehen? Mein Prof hat das heute auch nicht ganz rausbekommen... Danke schonmal für eure Antworten
23.01.2009, 15:27	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich würde einfach vollkommen geometrisch überlegen. Zuerst kannst du deine Gleichung umformen zu y²+z²=x² und man sieht, dass man es mit einem Kegel zu tun hat. Diesen kann man recht einfach in der gewünschten Form darstellen. Vielleicht hilft dir dieser Ansatz weiter, wenn ich gebe ich dir später einen Tip.
23.01.2009, 21:08	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ich sehe aber gerade, dass ich oben einen Fehler gemacht habe. Dort habe ich versehentlich ein Quadrat zu viel. Im Gleichungssystem ist es jedoch richtig. Hab jetzt mal ein Bild mit reingestellt. Meine Vermutung ist einfach, dass das ganze Gebilde durch Geraden erzeugt wird, die auf dem "Sattel" hin und her wandern... oder?
23.01.2009, 23:09	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, Doppelpost. Hätte wohl nach der Fehlermeldung mal checken sollen, ob mein Post erfolgreich gepostet wurde...
23.01.2009, 23:09	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, du musst jedoch noch beachten, dass dein x,y,z auch noch von t abhängt. Ich verstehe auch nicht ganz, wie du genau auf die drei Gleichungen kommst. Ich denke, dass die Sattelfläche keine Regelfläche ist. Zwar kann ich mir Geraden vorstellen, die entlang der Fläche laufen, jedoch sind diese star und lassen nicht verschieben ohne aus der Fläche hinauszutreten. Und eine Regelfläche ist ja einfach eine stetige Parametrisierung durch Geraden. Bist du sicher, dass im Buch nicht ein Fehler ist und das Quadrat vergessen wurde?
24.01.2009, 15:52	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so muss es jetzt stimmen. Wir haben auch schon eine Parametrisierung angegeben in der Vorlesung. Unserer Professor hat die jedoch als ÜA gegeben. Die drei obigen Gleichungen erhalte ich, wenn ich die oben genannte Beziehung einsetze...
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