Lineare Gleichungssysteme

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Kenny Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme
Hi Leute,
Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe, trotz das ich die Lösung angegeben habe. Und zwar zu Folgende:
Wie kann die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
(a^3/ a^2 /a), (1/1/1), (27/9/ a^5)
bei dieser Aufgabe ist das Ergebnis für a=1
könnt ihr mir helfen ? *anfleh*
ich komme einfach nicht auf die Zahl, wenn man davon absieht, dass ich es nicht schaffe nach a aufzulösen. Die Zahlen lassen sich am Ende nicht mehr zusammenfügen.
ich wäre sehr Dankbar, wenn mir jemand hilft!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearegleichungssysteme
Was bedeutet denn linear abhängig?
Kenny Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal schreibt man es in dieser Form:
x1 mal (1.Vektor) + x2 mal (2.Vektor) + x3 mal (3.Vektor) = (0/0/0) / nicht zur vergessen Vektoren werden untereinander geschrieben!

Wenn man so etwas nun hat, bastelt man sich daraus erstmal ein Linearesgleichungssytem. Das würde dann so aussehen:

a^3 mal x1 + x2 + 27 x3 =0
a^2 mal x1 + x2 + 9 x3 =0
a mal x1 + x2 + a^5 mal x3 =0

der nächste Schritt wäre jetzt normalerweiße solange umformen bis man am Ende eine Gleichung mit allen 3 Variablen (damit jetzt x1,x2... gemeint) hat, eine gleichung mit x2 und x3 und die letzte Gleichung, in diesem Fall weil (jetzt komm ich zu dem Begriff) es linear abhängig sein soll, 0=0 !
jetzt muss man halt überlegen, was für a eingesetzt werden muss das es stimmt.

Ich weiß nicht so gut erklärt =( bin leider kein mathe- Genie und ich weiß nicht bis wohin dir die Aufgabe i-etwas sagt. Sry !!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Frage nach linearer Abhängigkeit nicht beantwortet. Daher ist davon auszugehen, dass du darüber keine oder zu wenig Kenntnisse besitzt.

Es gilt erstens , denn sonst wäre der erste Vektor der Nullvektor.

Deine Methode führt hier nicht zum Erfolg, denn dabei entsteht eine Gleichung 8. Grades in a, aus der man zwar ein a ausklammern kann, dann bleibt eine 7. Grades übrig, die man algebraisch nicht lösen kann (numerisch ergibt sich ausser für a = 1 keine weitere reelle Lösung). Also lässt sich hier die einzige Lösung a = 1 nur erraten.

Hinsichtlich der linearen Abhängigkeit erkennt man sofort, dass für a = 1 die ersten beiden Vektoren identisch sind. Dies ist jedoch hinsichtlich der Untersuchung auf lineare Abhängigkeit nicht gerade sehr sinnvoll bzw. trivial, denn wenn in einer Menge von Vektoren zwei davon gleich sind, sind immer alle linear abhängig. Beim Nullsetzen der Linearkombination gäbe es zwei im Vorzeichen entgegengesetzte und im Betrag gleiche Parameter ungleich Null, was der Beweis dafür ist.

Bei linearer Abhängigkeit der drei Vektoren gilt aber auch, dass sich ein Vektor als Linearkombination der anderen beiden darstellen lassen muss, also z.B. so:



Das aus den drei Zeilen resultierende Gleichungssystem kannst du nun versuchen, nach zu lösen.

mY+
Kenny Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun leider sehr unmotiviert, dass Thema weiteranzugehen, habe gestern eine sehr wichtige Mathearbeit verhauen und möchte mich am liebsten mit dem Thema nicht mehr auseinandersetzen, außerdem, haben wir solche Aufgaben nie so berrechnet und habe keine Lust es neu zu erlernen,
trotzdem danke ich SEHR für ihre HILFE !!!!!!!
Denn es ist ja nicht selbstverständlich jemandem zu helfen!!! Danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal: Kopf hoch!

Ich weiß nicht welche Klasse du besuchst, aber solltest du planen Abitur zu machen, empfehle ich dir nach einer Zeit doch den Weg aus dem Frustloch zu finden und das Thema anzugehen. Augenzwinkern
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Abschluss für andere Leser:

...

Bei linearer Abhängigkeit der drei Vektoren gilt aber auch, dass sich ein Vektor als Linearkombination der anderen beiden darstellen lassen muss, also z.B. so:


------------------------------------------------





------------------------------------------------



------------------------------------------------
Hier gibt es weder für a = 0 noch für a = 1 eine Lösung, für folgt



wobei diese Gleichung keine reelle Lösung besitzt.



mY+
Paul1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

für a=0 erhält man ja einen Nullvektor und dann müssten die drei Vektoren doch auch linear abhängig sein, da eine Menge von Vektoren linear abhängig ist, wenn sie einen Nullvektor enthält.

Oder seht ihr das anders?

Nachzulesen ist das beispielsweise bei Massmatics, Lineare Abhängigkeit

unter der Überschrift: "Noch ein paar Fakten".

Leider kann ich hier den Link nicht verschicken.

Ich freue mich auf eure Antworten.

Viele Grüße

Paul
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht. Nach 12 Jahren hat sich auch meine Sichtweise etwas geändert.

Bei linearer Abhängigkeit ist nur gefordert, dass sich mindestens ein Vektor der Familie als Linearkombination von den anderen darstellen lässt, jedoch NICHT jeder.

Daher sind Vektoren einer Familie, die den Nullvektor enthält, sofort linear abhängig, a = 0 ist also hier ebenso möglich, so ist es.

mY+
Paul1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die sehr schnelle und hilfreiche Antwort!
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