aus Injektivität folgt f(A schnitt B) = f(A) schnitt f(B)

22.01.2009, 20:58

schmouk

aus Injektivität folgt f(A schnitt B) = f(A) schnitt f(B)

Seine A,B,X,X' Mengen mit $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$ und f: X -> X' eine Abbildung.
Beweisen Sie Äquivalenz der folgenden drei Aussagen:

a) f ist injektiv
b) $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$

Ich weiß: Eigentlich aus a) folgt b) und aus b) c) und aus c) wieder a) aaalso: alle drei äquivalent.

aber ist nicht auch
Tom = Anna
Markus = Anna
und
Tom = Markus
also gilt
Tom = Markus = Anna?

Also kann ich auch zeigen aus b) folgt c) und umgekehrt und aus a) folgt b) und c) oder nicht?!

zu a) => b)
Reicht nicht folgendes:
ich weiß wenn f injektiv und $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

sei a in A und b in B mit a=b als a,b in $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ .

Wegen injektivität folgt f(a)=f(b) und deshalb gilt f(a),f(b) in $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

a) => b) gezeigt oder nich?

zu a) => c)
ähnlich

und b) <=> c) später

wäre a) => b) denn zufriedenstellend gezeigt?

kev

22.01.2009, 21:22

Mazze

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Zitat:

aber ist nicht auch Tom = Anna Markus = Anna und Tom = Markus also gilt Tom = Markus = Anna?

Was soll das mit logischer Implikation zu tun haben ? Wenn ich mal übersetze :

Tom => Anna
Markus => Anna
Tom => Markus

ergibt nicht Anna => Tom und auch nicht Markus => Tom.

Ein klassischer Weg ist natürlich der Ringschluss, also a => b , b=> c und c => a. Was auch geht ist a <=> b und b <=> c. Oder Du machst den Ringschluss anders herum a => c, c => b, b => a. Viel mehr als dass sollte dir das logische Konzept klar sein, warum man das so machen darf.

Zitat:

ich weiß wenn f injektiv und $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

Du bringst die Kausalitäten durcheinander. Deine Aussage ist trivial, sie gilt für alle Funktionen. Richtig sollte es heissen

ich weiß wenn f injektiv und $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ .

Diesen erheblichen Unterschied solltest Du Dir klar machen. Dein Beweis ist damit auch falsch. Ansonsten beweist man Mengengleichheit gerne mit wechselseitiger Inklusion. Dabei ist die Richtung

$\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

trivial, sie gilt für alle Funktionen. Die Injektivität brauchst Du für

$\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Nehme dafür an es gäbe ein $\begin{eqnarray*} x \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ , dann gibt es wohl ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ so dass was gilt ?

22.01.2009, 22:03

schmouk

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ja, das stimmt. es würde nur a <=> b und c <=> b also a <=> b <=> c gehen, nicht wahr?

und ja,

soweit ich das verstehe ist das so, ich habe eine funktion f: X -> Y und x,x' mit f(x)=f(x'). Und daraus muss folgen x=x' nur dann ist die Funktion injektiv.

Das ist doch die Richtige Reihenfolge oder nicht?

Aber ist es nicht so, dass wenn einmal gezeigt ist, dass f injektiv ist und aus f(x)=f(x') also immer x=x' folgt, immer auch "x=x' impliziert f(x)=f(x')" wahr ist?

sagen wir ich habe eine funktion die injektiv ist.
kann jemals "x=x' und f(x) ungleich f(x')" der Fall sein?

kev

22.01.2009, 22:07

Mazze

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Zitat:

Das ist doch die Richtige Reihenfolge oder nicht?

Jawohl, so ist es richtig rum Augenzwinkern

Zitat:

sagen wir ich habe eine funktion die injektiv ist. kann jemals "x=x' und f(x) ungleich f(x')" der Fall sein?

Ehrlich gesagt verstehe ich Deine ''x und f(x)'' nicht wirklich. Du meinst sicher x = y dann auch f(x) = f(y). Diese Eigenschaft gilt für alle Funktionen. Eine Funktion muss nicht injektiv sein um diese Eigenschaft zu erfüllen. Diese Eigenschaft heisst Rechtseindeutigkeit, und eine Relation ist genau dann eine Funktion wenn sie Linkstotal und Rechtseindeutig ist.

Es wäre ja auch noch schöner wenn Du zum Beispiel x² betrachtest, und dort für sagen wir 2² = 4 und 2² = 32423 bekommen würdest.

edit

Zitat:

ja, das stimmt. es würde nur a <=> b und c <=> b also a <=> b <=> c gehen, nicht wahr?

Nein, Du kannst durchaus auch einen Ringschluss a => b, b => c, c => a machen.

22.01.2009, 22:45

schmouk

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ja, ich verstehe was du meinst.

klar, Definition Abbildung: dem Element aus der einen Menge wird genau EIN Element aus einer anderen zugeordnet.

Also immer wahr ist
x,y in X und f:X->B
dann
wenn x=y ist auch f(x)=f(y)

Nicht immer wahr ist:
wenn f(x)=f(y) dann ist auch x=y

im Falle von x^2 z.B.

Ist die die Funktion allerding injektiv, so stimmt auch letztere aussage.

und im grunde ist dann ja
$\begin{eqnarray*} x=y \Rightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ wahr

also stimmt in dem Fall doch

$\begin{eqnarray*} x=y \Leftrightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

Und dann kann ich das doch für meinen Beweis benutzen indem ich sage,

Seien a in A und b in B

Fall1 a ungl. b
$\begin{eqnarray*} a,b \notin A\cap B \end{eqnarray*}$
dann auch sicher f(a) ungl. f(b)
$\begin{eqnarray*} a,b \notin f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

Fall2 a=b
analog

Also folgt

$\begin{eqnarray*} f(A\cap B)=f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

Nich?

22.01.2009, 23:04

Mazze

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Zitat:

Fall1
a ungl. b $\begin{eqnarray*} a,b \notin A\cap B \end{eqnarray*}$
dann auch sicher f(a) ungl. f(b)
$\begin{eqnarray*} a,b \notin f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

Du bringst hier die Mengen durcheinander. f könnte ja auf strukturverschiedenen Mengen abbilden, und dann macht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a,b \notin f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

nicht mal Sinn. Was Du meinst ist

$\begin{eqnarray*} f(a),f(b) \notin f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

Aber das Beweist die Aussage nicht direkt. Du willst zeigen dass $\begin{eqnarray*} f(A\cap B)=f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ gilt und nicht dass $\begin{eqnarray*} a,b \not \in A \cap B \Rightarrow f(a),f(b) \not \in f(a) \cap f(b) \end{eqnarray*}$ gilt. Letztere Aussage ist für injektive Funktionen richtig, aber bringt dir für die Aufgabe nicht unmittelbar was. Allerdings bekommst Du damit mit Hilfe

$\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

die Aussage

$\begin{eqnarray*} f(a),f(b) \in f(a) \cap f(b) \Rightarrow a,b \in A \cap B \end{eqnarray*}$

und daraus folgt natürlich sofort

$\begin{eqnarray*} f(a),f(b) \in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

und damit bekommst Du die Richtung $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ , was die "schwierige Richtung" wäre. Also im Wesentlichen fehlt Dir da nur eine kleine Bemerkung.

23.01.2009, 22:55

schmouk

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Warum darf ich
$\begin{eqnarray*} a,b\in A\cap B \Rightarrow f(a),f(b)\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

folgern??

Das ist doch gerade die Frage oder nicht?

24.01.2009, 12:35

Mazze

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Zitat:

Warum darf ich $\begin{eqnarray*} a,b\in A\cap B \Rightarrow f(a),f(b)\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ folgern??

Das ist trivial. Überlege Dir warum. Beachte : $\begin{eqnarray*} a \in A \Rightarrow f(a) \in f(A) \end{eqnarray*}$ (das hätte ich nichtmal schreiben müssen)

24.01.2009, 15:38

schmouk

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Das mein ich ernst.

sicher ist mir klar, wenn

$\begin{eqnarray*} z\in Z \end{eqnarray*}$

dann auch

$\begin{eqnarray*} f(z)\in f(Z) \end{eqnarray*}$

also

wenn es ein Element einer Menge gibt, und diese Menge wird auf eine "Menge von Funktionswerten" abgebildet, dann ist der abgebildete Wert des Element auch Element der "Menge von Funktionswerten".

also ist auch

$\begin{eqnarray*} z\in Z\cap H \Rightarrow f(z)\in f(Z\cap H) \end{eqnarray*}$

nur um mal andere Buchstaben zu nehmen.

Reicht das als Begründung warum letztere Aussage gilt?

Ganz vorsichtig: Ich meine es ist genauso sehr logisch wie f(A schneidet B) = f(A) schneidet f(B) sobald f injektiv.

Dass ich das so sehe, liegt wahrscheinlich an meinem ungübten und relativ talentfreiem Blick dafür.
Es fällt mir schwer zu unterscheiden, was sich quasi von selbst erschließt und wann noch weiteres zu zeigen ist.

ich bin z.B. noch immer davon überzeugt, dass es reichen müsste, a=b gdw. f(a)=f(b) zu zeigen, denn von da an folgt ja auf jeden Fall dass "f(A schneidet B) = f(A) schneidet f(B)" AUFGRUND DER INJEKTIVITÄT gilt.
und die aufgabe ist ja nicht zu zeigen, dass "f(A schneidet B) = f(A) schneidet f(B)" im allg. gilt, sondern nur wenn f injektiv. Das müsste doch der Knackpunkt sein.

Nicht falsch verstehen, ich bin mir bewusst, dass ich keine Ahnung habe. Deshalb benötige ich jemanden, der mir sagt, wo die Fehler in meinem Denken liegen.

Kev

EDIT: Oh, dass du bereits geantwortet hast, habe ich erst gesehen als ich schon wieder gepostet habe.

24.01.2009, 21:12

Mazze

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Zitat:

Reicht das als Begründung warum letztere Aussage gilt?

Absolut, wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in der Schnittmenge von Z und H liegt, dann liegt das Bild von z unter f in der Bildmenge von Z geschnitten H unter f.

Zitat:

a=b gdw. f(a)=f(b) zu zeigen, denn von da an folgt ja auf jeden Fall dass "f(A schneidet B) = f(A) schneidet f(B)

Natürlich stimmt das, aber das sollst Du doch zeigen. Dieses "folgt auf jeden Fall" wäre zu begründen.

24.01.2009, 22:24

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Etwas ist mir bisher im Thread zu kurz gekommen:

Zitat:

Original von schmouk
Seine A,B,X,X' Mengen mit $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$ und f: X -> X' eine Abbildung.
Beweisen Sie Äquivalenz der folgenden drei Aussagen:

a) f ist injektiv
b) $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$

So formuliert ist die Behauptung ganz einfach falsch - Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} X=X'=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A=B=\{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt zwar b), aber nicht a). unglücklich

Gemeint war vermutlich folgendes

Zitat:

Seine X,X' Mengen und f: X -> X' eine Abbildung.
Beweisen Sie Äquivalenz der folgenden drei Aussagen:

a) f ist injektiv
b) $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$

und so habt ihr alle es wohl aufgefasst - aber so steht es in der Aufgabenstelleung eben leider nicht da.

25.01.2009, 13:49

schmouk

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Also dann noch mal eine von Vorne (Sorry, langsam nervt's, aber ich will's jetzt wissen)

Aufgabe:
Seine X, X' Mengen und $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow X' \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

f ist injektiv
$\begin{eqnarray*} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ für alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(A\setminus B) = f(A)\setminus f(B) \end{eqnarray*}$ für alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,B\subset X \end{eqnarray*}$ .

Annahme $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \supset f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b \notin A\cap B \Rightarrow f(a),f(b) \notin f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$
durch Verneinung der Folgerung folgt die Verneinung des Antezendens, also
$\begin{eqnarray*} f(a),f(b) \in f(A)\cap f(B) \Rightarrow a,b \in A\cap B \end{eqnarray*}$

sicher ist $\begin{eqnarray*} a,b\in A\cap B \Rightarrow f(a),f(b)\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

also auch $\begin{eqnarray*} f(a),f(b) \in f(A)\cap f(B) \Rightarrow f(a),f(b)\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

Annahme richtig.

Annahme $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \subset f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=b \Leftrightarrow f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ da f injektiv

so gilt
$\begin{eqnarray*} a=b \Rightarrow a,b\in A\cap B \Rightarrow f(a), f(b) \in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a), f(b) \in f(A\cap B) \Rightarrow f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ (wirklich??)

$\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \Rightarrow f(a),f(b)\in f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

Annahme richtig.

aus a. folgt b. bewiesen

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