Differenzierbarkeit

22.01.2009, 22:04

koeffizient

Differenzierbarkeit

Hallo!

Ich soll zeigen, dass die funktion $\begin{eqnarray*} \mid tan(x) \mid \end{eqnarray*}$ an der Stelle x gleich null nicht Differenzierbar ist.

Reicht es aus zu zeigen, dass links- und rechtsseitiger limes verschieden sind?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\mid tan(x) \mid -\mid tan(0) \mid }{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{ tan(x) }{x}= \lim_{x \to 0} \frac{ cos²(x) }{1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -0} \frac{\mid tan(-x) \mid -\mid tan(0) \mid }{-x-0} = \lim_{x \to -0} \frac{ tan(x) }{-x}= \lim_{x \to -0} \frac{ cos²(x) }{-1}=-1 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Vorhinein!

22.01.2009, 23:58

tigerbine

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RE: Differenzierbarkeit
Nein, da würde ich Widerpspruch einlegen. Das (-x) ist mir unverständlich.

Man kennzeichnet im limes Index ja nur, von wo man sich nähert. Imho muss man den Betrag auflösen. Dazu muss man eben etwas über den tangens wissen. Da wir uns für x=0 interessieren, betrachten wir das Intervall [-1,1]. Dort gilt:

$\begin{eqnarray*} |\tan(x)| =\begin{cases} -\tan(x) & 1 \leq x < 0 \\+\tan(x) & 0 \leq x < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{\tan(x) -\tan(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0+} \frac{ \tan(x) }{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} \frac{-\tan(x) -\tan(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0-} \frac{ -\tan(x) }{x} \end{eqnarray*}$

Deinen nächsten Schritt verstehe ich nicht. Ich würde nun mit L'hospital weitermachen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{ \tan(x) }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{1+ \tan^2(x) }{1} = +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} \frac{ -\tan(x) }{x} =\lim_{x \to 0} \frac{-1- \tan^2(x) }{1} = -1 \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 10:52

koeffizient

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Differenzierbarkeit
Hallo Tigerbine!

Vielen Dank für deine Antwort.

Deine Definition von $\begin{eqnarray*} \mid tan(x) \mid \end{eqnarray*}$ macht Sinn. Freude

Zitat:

Deinen nächsten Schritt verstehe ich nicht. Ich würde nun mit L'hospital weitermachen.

Ich auch nicht geschockt

Ich habe de l'Hospital angewendet, aber die Ableitung des Tangens falsch angegeben; im Nenner des Bruches sollte selbstverständlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos²(x)} \end{eqnarray*}$ stehen

Ich denke ich verstehe dein Vorgehen, das heißt wenn ich Beispielsweise Betrag x an der stelle 0 betrachte dann ist:

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid = \{ x \forall x>0 \} \mid x \mid = \{ -x \forall x\leq0 \} \end{eqnarray*}$

(ich weiß leider nicht wie man die große Mengenklammer macht)

Folglich ist der rechtseitige limes gleich 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} \frac{ \mid x \mid -0}{x-0} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

Der linksseitige gleich minus 1

$\begin{eqnarray*} \ \lim_{x \to 0-} \frac{ \mid x \mid -0}{x-0} = \lim_{x \to 0-} \frac{-x}{x}=-1 \end{eqnarray*}$

Im Heuser ist jedoch folgendes Vorgehen angeführt (deshalb bin ich auch ursprünglich auf +x,-x im Nenner gekommen)

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid \frac{1}{n} \mid -0}{\frac{1}{n}-0 } = \frac{\frac{1}{n} }{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ (geht gegen 1)

$\begin{eqnarray*} \frac{\mid \frac{-1}{n} \mid -0}{\frac{-1}{n}-0 } = \frac{\frac{1}{n} }{\frac{-1}{n} } \end{eqnarray*}$ (geht gegen -1)

Ich verstehe nicht ganz warum er hier eine Nullfolge verwendet beziehungsweise, hier im Nenner das Vorzeichen ändern kann.

LG Augenzwinkern

23.01.2009, 11:07

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit
Statt x von oben oder unten gegen Null gehen zu lassen, nimmt er dafür Nullfolgen, und zwar einmal x_n = 1/n und einmal x_n = -1/n. Das läuft natürlich auf das gleiche Ergebnis raus.

23.01.2009, 13:29

tigerbine

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Ich auch nicht geschockt Ich habe de l'Hospital angewendet, aber die Ableitung des Tangens falsch angegeben; im Nenner des Bruches sollte selbstverständlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos²(x)} \end{eqnarray*}$ stehen

Ich zeige mal die Äquivalenz der beiden Ableitungen... Augenzwinkern

für weitere Leser.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\Bigl( \tan(x)\Bigr)' = \Bigl( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \Bigr)' = \frac{\cos(x)\cos(x) + \sin(x) \sin(x)}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Das ist nun, wenn man den Bruch aufteilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1+\tan^2(x) \end{eqnarray*}$

Verwendet man den trig. Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 15:55

koeffizient

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Differenzierbarkeit
Vielen Dank euch beiden! Augenzwinkern

Und noch eine kurze Frage.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \sin(\mid x \mid ) \end{eqnarray*}$ an der Stelle 0 betrachte reicht es doch aus, dass die innere Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist, um zu sehen dass die $\begin{eqnarray*} \sin(\mid x \mid ) \end{eqnarray*}$ in 0 nicht differenzierbar ist.

23.01.2009, 18:51

Leopold

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Nein, das reicht nicht.

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = |x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x) = \left( g \circ \varphi \right)(x) \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 19:08

koeffizient

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Differenzierbarkeit
Hi Leopold!

Danke für dein Gegenbeispiel!

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