Automorphismen, Isomorphien, Erweiterungen

23.01.2009, 12:19

Problemfinder

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Automorphismen, Isomorphien, Erweiterungen

Hallo zusammen,

ich muss Aussagen zu Automorphismen untersuchen. Leider kann ich bisher mit der Schreibweise in den Aufgaben noch nicht richtig etwas anfangen. Vielleicht kann mir jemand von euch sagen, was gemeint ist, oder wonach ich sucher muss. Danke

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} Aut_{\mathbb Q} (\mathbb C) \simeq \mathbb Z \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} Aut_{\mathbb F _2}(\mathbb F _4) \simeq \mathbb Z / 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Diese Aussagen sollen jeweils getrennt auf Richtigkeit überprüft werden.

Ausserdem soll überprüft werden:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2})= \mathbb Q(\sqrt[3]{4}) \end{eqnarray*}$
Hierzu hab ich mir überlegt, dass die Aussage nicht stimmt, da zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \notin \mathbb Q(\sqrt[3]{4}) \end{eqnarray*}$ wenn doch in diesem Körper alle Elemente die Form haben: $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt[3]{4}=a+b\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2} \ mit \ a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Oder seh ich das falsch?

Ähnlich:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},i)=\mathbb Q(\sqrt{2}i) \end{eqnarray*}$
Auch hier würde ich ähnlich argumentieren und sagen, dass $\begin{eqnarray*} i\notin \mathbb Q(\sqrt{2}i) \end{eqnarray*}$

Wäre sehr nett wenn hier kurz jemand drüber gucken könnte und mir zu den Automorphismenaussagen kurz die Schreibweise erklären könnte. Vielen Dank

23.01.2009, 13:13

Reksilat

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RE: Automorphismen, Isomorphien, Erweiterungen
Hi Problemfinder,

Bei der Schreibweise der Automorphismengruppen bin ich mir gerade nicht hunderprozentig sicher, aber ich denke, dass mit $\begin{eqnarray*} Aut_{\mathbb Q} (\mathbb C) \end{eqnarray*}$ die Automorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gemeint sind, die $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ festlassen (damit also alle Automorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ), allgemein:
$\begin{eqnarray*} {\rm Aut}_k(K)=\{\sigma\in {\rm Aut}(K),k\subseteq {\rm Fix}(\sigma)\} \end{eqnarray*}$
Hier noch ein Link zum ersten Beispiel: klick

Zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2})\stackrel{?}{=} \mathbb Q(\sqrt[3]{4}) \end{eqnarray*}$ :
Dein Ansatz, dass sich alle Elemente als $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$ darstellen lassen ist falsch. Was ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$ ? Wieso sollte das nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{4}) \end{eqnarray*}$ liegen?

Zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},i)\stackrel{?}{=}\mathbb Q(\sqrt{2}i) \end{eqnarray*}$ :
Da die erste Argumentation nicht funktioniert, solltest Du Dir mal die Körpererweiterungsgrade und mögliche Zwischenkörper anschauen.

23.01.2009, 14:31

Problemfinder

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hallo und danke für deine Antwort,

zu den Automoprhismen: Das hört sich doch schonmal etwas greifbarer an, ich werd gleich deinen Link mal weiterverfolgen und auch noch mal so nach Quellen etc suchen. Danke.

irgendwie kommt mir mein fehler bei der Erweiterung bekannt vor.... unglücklich

unglücklich

also die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{4}) \end{eqnarray*}$ lassen sich also darstellen als: $\begin{eqnarray*} a+b\cdot \sqrt[3]{4}+c \cdot \sqrt[3]{16} \ und \ \sqrt[3]{16}=2\cdot \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ ebenso der fehler bei den Elementen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2})=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$

Womit alle Elemente "durch die selbe Form" darstellbar sind und dementsprechend die Aussage über die Gleichheit stimmt.

Zur zweiten Aussage: Sind die Erweiterungsgrade nicht bei beiden =2? Was sagt mir das? Oder lieg ich falsch?

Dank und Gruß

Edit: Wieso funktioniert die Argumentation mit i ist kein Element denn nicht? Hier wäre doch die Darstellun $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}i)=a+b\sqrt{2}i \end{eqnarray*}$ richtig, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}i\cdot \sqrt{2}i=-2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ oder? entsprechend ist i allein doch keine Element?

23.01.2009, 14:38

Reksilat

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Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{4})=\mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ würde ich argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{4}\in \mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ liegt, also auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{4})\subseteq \mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$ und die Umkehrung kann man dann analog machen.

Zur zweiten Aufgabe: Nein der Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},i) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist nicht zwei. Du adjungierst ja zwei Elemente zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Was wäre denn, wenn Du nur eines davon nehmen würdest?

23.01.2009, 16:23

Problemfinder

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Hallo Reksilat,

okay, also die erste Aussage stimmt offensichtlich, deine Argumentation kann ich nachvollziehen, ist ja im Prinzip wie meine denk ich, dass alle Elemente "in der selben Form" darstellbar sind, nur um einiges schöner ausgedrückt :-)

Der Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},i) \ ueber \ \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist dann 4 nehme ich an. Wobei ich mir bei zwei adjungierten Elementen noch nicht so sicher bin, wie ich den berechne. Falls er wirklich 4 ist wäre aber doch damit schon die Ungleichheit und damit die Falschheit (?) der Aussage gezeigt?

ZUrück zu den Automorphismen: Wenn wir davon ausgehen, dass tatsächlich gemeint ist dass die rationalen Zahlen festgelassen werden, dann hab ich als Autorphismen: Die identität, die komplexe Konjugation und ich kann mit den irrationalen Zahlen "arbeiten". Aber ist dies dann isomoprh zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Zum zweiten Beispiel: Stark vereinfacht dargestellt, ich hoffe du verstehst was ich meine. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2=\{ 0,1 \} \ und \ \mathbb F_4=\{ 0,1,t,t+1 \} \end{eqnarray*}$ Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ festbleibt habe ich als Automorphismen:

$\begin{eqnarray*} \phi_1: \phi_1(t)=t \ \phi_1(t+1)=t+1 \\ \phi_2: \phi_2(t)=-t \ \phi_2(t+1)=t+1 \\ \phi_3: \phi_3(t)=t \ \phi_3(t+1)=-(t+1) \\ \phi_4: \phi_4(t)=-t \ \phi_4(t+1)=-(t+1) \end{eqnarray*}$

Also ist die Automorphismengruppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Richtiger GEdankengang?

Danke

23.01.2009, 16:51

Reksilat

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Zitat:

Der Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},i) \ ueber \ \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist dann 4 nehme ich an. Wobei ich mir bei zwei adjungierten Elementen noch nicht so sicher bin, wie ich den berechne. Falls er wirklich 4 ist wäre aber doch damit schon die Ungleichheit und damit die Falschheit (?) der Aussage gezeigt?

Ja, 4 ist richtig und damit können die Körper nicht gleich sein. Den Grad zeigt man am besten mit dem Gradsatz und den Teilkörpern $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2},i) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zurück zu den Automorphismen: Wenn wir davon ausgehen, dass tatsächlich gemeint ist, dass die rationalen Zahlen festgelassen werden, dann hab ich als Autorphismen: Die identität, die komplexe Konjugation und ich kann mit den irrationalen Zahlen "arbeiten". Aber ist dies dann isomoprh zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Immerhin hast Du ja schon zwei Automorphismen: Die Identität und die komplexe Konjugation. Wenn die Automorphismengruppe zu $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ isomorph wäre, auf welche ganze Zahl müsste die Identität dann ebgebildet werden? Nun betrachte das Bild der komplexen Konjugation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und bringe das zum Widerspruch.

Zitat:

Zum zweiten Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \phi_2: \phi_2(t)=-t \ \phi_2(t+1)=t+1 \end{eqnarray*}$
...
Also ist die Automorphismengruppe isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_4 \end{eqnarray*}$ hat die Charakteristik 2 und somit ist $\begin{eqnarray*} -t=t \end{eqnarray*}$ . Die Elemente hattest Du ja auch schon alle aufgeschrieben, weshalb sollten da neue auftauchen? Das Bild von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_4 \end{eqnarray*}$ , welche Möglichkeiten gibt es da?

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24.01.2009, 10:31

Problemfinder

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Hallo,

gut, damit haben wir also zu den Aussagen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[3]{2})=\mathbb Q(\sqrt[3]{4}) \end{eqnarray*}$
ist wahr!

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2},i)=\mathbb Q(\sqrt{2}i) \end{eqnarray*}$
ist falsch!

Und zu den Automorphismen: Ich habe noch ein bisschen gesucht und auch in unserer Vorlesung noch einiges, eventuell hilfreiches gefunden. Wir (du mit deiner Vermutung) lagen richtig: Der Körper k im Index heißt: Wir betrachten die k-Automorphismen, also die der Körpererweiterung, die eingeschränkt auf den Grundkörper die Identität sind.

Zu $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q (\mathbb C) \simeq \mathbb Z \end{eqnarray*}$
ich weiß noch nicht genau worauf du hinaus möchtest. Also das Bild der Identität müsste ja vermutlich die 0 in Z sein. Zum Bild der Konjugation kann ich aber noch nichts sagen, beziehungsweise sehe nicht was ich hier zum Widerspruch bringen sollte.

Zu $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb F {_2} (\mathbb F _4) \simeq \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Okay an die Charakteristik 2 hab ich nicht gedacht, dann habe ich nur die Möglichkeit t auf t abzubilden oder t auf t+1 abzubilden nicht wahr? Damit hab ich nur zwei Automorphismen und die Aussage ist falsch? Richtiger Gedankengang?

Wo wir grad dabei sind :-) Habe mir auch mal die anderen zu untersuchenden Aussagen angeschaut

1) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q(\mathbb Q[i]) \simeq \mathbb Z /2\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Ich würde sagen, die ist wahr, So wie ich das sehe ist die Erweiterung seperabel, demnach kann ich mir den Grad der Körpererweiterung =2 anschauen und diese entspricht dem Seperabilitätsgrad sprich der Anzahl der Automorphismen =2.

2) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q(\mathbb Q[\sqrt{2}]) \simeq \mathbb Z /2\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Mit ähnlicher Argumentation würd ich auch hier sagen die Aussage stimmt.

3) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q(\mathbb Q(\sqrt[4]{2},\sqrt{3}) \simeq \mathbb Z /8\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Ich bin mir hier bei dem Grad der Erweiterung nicht sicher, sollte er, wir ich denke 4 sein, müsste die Aussage falsch sein.

4) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb F {_2} (\mathbb F _8) \simeq \mathbb Z /3\mathbb Z \end{eqnarray*}$
hierbei würde ich auch sagen die Aussage ist falsch, die Elemente kann ich doch paarweise öfter vertauschen, selbst wenn ich 0,1 festlasse?

5) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q (\mathbb Q(e^{2\pi i /11})) \simeq \mathbb Z /10\mathbb Z \end{eqnarray*}$

6) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q (\mathbb Q(e^{2\pi i /6})) \simeq \mathbb Z /5\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Bei diesen beiden hänge ich an der Erweiterung....ich weiß leider nicht mehr, was das adjungierte Element "darstellt" find aber dazu auch momentan nichts....wenn ich das wieder wüsste könnte ich doch ähnlich oben über den Grad der Körpererweiterung sehen ob die Aussage warh oder falsch ist?

Danke für die Hilfe.

24.01.2009, 16:17

Reksilat

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Zitat:

Zu $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q (\mathbb C) \simeq \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ich weiß noch nicht genau worauf du hinaus möchtest. Also das Bild der Identität müsste ja vermutlich die 0 in Z sein. Zum Bild der Konjugation kann ich aber noch nichts sagen, beziehungsweise sehe nicht was ich hier zum Widerspruch bringen sollte.

Was passiert denn, wenn ich die Konjugation zweimal hintereinander ausführe? Was würde mit dem Bild der Konjugation passieren?

Zitat:

Zu $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb F {_2} (\mathbb F _4) \simeq \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Okay an die Charakteristik 2 hab ich nicht gedacht, dann habe ich nur die Möglichkeit t auf t abzubilden oder t auf t+1 abzubilden nicht wahr? Damit hab ich nur zwei Automorphismen und die Aussage ist falsch? Richtiger Gedankengang?

Korrekt, denn durch das Bild von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wird der Automorphismus ja eindeutig beschrieben.

1)+2)
OK.

Zitat:

3) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q(\mathbb Q(\sqrt[4]{2},\sqrt{3}) \simeq \mathbb Z /8\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Ich bin mir hier bei dem Grad der Erweiterung nicht sicher, sollte er, wir ich denke 4 sein, müsste die Aussage falsch sein.

Wieso 4? Betrachte Teilkörper! Was ist der Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ ? Liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ dort drin?

Zitat:

4) $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb F {_2} (\mathbb F _8) \simeq \mathbb Z /3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ hierbei würde ich auch sagen die Aussage ist falsch, die Elemente kann ich doch paarweise öfter vertauschen, selbst wenn ich 0,1 festlasse?

Was meinst Du damit? Welche Elemente willst Du paarweise vertauschen?
Die von 0 und 1 verschiedenen Elemente sind doch jetzt die sechs Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ . In welche irreduziblen Faktoren zerfällt denn dieses Polynom über GF(2)?

5)+6):
$\begin{eqnarray*} \xi=e^{2\pi i/k} \end{eqnarray*}$ ist eine primitive k-te Einheitswurzel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \xi^m=1 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} k|m \end{eqnarray*}$

24.01.2009, 17:49

Problemfinder

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Hi,

$\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q (\mathbb C) \simeq \mathbb Z \end{eqnarray*}$
Wenn ich die Konjugation zweimal hintereinander ausführe habe ich doch wieder das "ursprüngliche" Element...vielleicht erahne ich jetzt worauf du hinaus möchtest: Zweimal hintereinander Konjugieren hieße Identität und die entspräche der 0 in Z....aber keine andere Zahl a aus Z erfüllt a+a=0? Führt das zum Widerspruch auf den du hinaus möchtest und zeigt, dass die Aussage falsch ist?

$\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb F {_2} \end{eqnarray*}$ damit gezeigt ist NICHT isomoprh zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

3) Mit dem Erweiterungsgrad bei zwei adjungierten Elementen schein ichs noch nicht so zu haben: Der Grad von $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt[4]{2}):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$ ist 4...hier liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ nicht drin. Heißt der Grad der eigentlich zu untersuchenden erweiterung müsste noch größer sein. $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(\sqrt{3}):\mathbb Q] = 2 \end{eqnarray*}$ . wie komme ich jetzt auf den Grad der erweiterung mit zwei adjungierten? Bin ich auf dem richtigen weg dann hier auch "nur" den Grad der Erweiterung zu betrachten und damit auf die Anzahl der Automorphismen zu schließen?

4) Die Elemente in F_8 sind doch: $\begin{eqnarray*} \{0,1,t,t+1,t^2,t^2+1,t^2+t,t^2+t+1\} \end{eqnarray*}$ 0 und 1 bleiben fest. Dann hab ich für zum Beipiel t noch 5 Elemente zur Auswahl, auf die ich t "schicken" könnte. Und damit mehr als nur 3 wie angegeben....das war meine Überlegung

zu 5) und 6) Das sind also k-te Einheitswurzeln. Nach meiner Überlegung heißt das kurzum, bei 5) ist der Grad der Erweiterung 11 und damit ist die Automorphismengruppe nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /10\mathbb Z \end{eqnarray*}$
Analog ist der Grad bei 6) gleich 6 und dementsprechend ist auch diese Aussage falsch oder?

Danke nochmals

24.01.2009, 18:14

Reksilat

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1) Richtig!

2)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb F {_2} \end{eqnarray*}$ damit gezeigt ist NICHT isomoprh zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Blub?

LOL Hammer

3) Schau Dir doch mal den Gradsatz an und überlege Dir auch, welchen Grad $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt{3}] \end{eqnarray*}$ hat. Lesen1

Lesen1

Ansonsten wirst Du hier "nur" mit dem Erweiterungsgrad nicht weiterkommen (der ist dann nämlich acht) und Du musst somit auch ein paar Automorphismen genauer betrachten. Überlege Dir einfach mal ein paar mögliche Automorphismen dieser Körpererweiterung und dann schau Dir mal die Ordnungen der Elemente in GF(8) an.

4) $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kann man noch auf sich selbst schicken, aber man wird trotzdem nicht immer auf einen Automorphismus kommen. Deshalb solltest Du ja auch das tun was ich Dir oben empfohlen habe, dann sieht man nämlich wo es hakt.

zu 5) und 6)
Der Körpererweiterungsgrad ist der Grad des Minimalpolynoms. Es ist zwar $\begin{eqnarray*} \xi^{k}-1=0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x^{k}-1 \end{eqnarray*}$ ist nicht irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Der Erweiterungsgrad ist also auf jeden Fall kleiner als 11. Diese Erweiterungen heißen übrigens k-te Kreisteilungskörper, da man in der komplexen Zahlenebene ein regelmäßiges k-Eck in den Einheitskreis zeichnen kann, dessen sämtliche Ecken in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\xi) \end{eqnarray*}$ liegen. Das sind dann nämlcih die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ .

25.01.2009, 16:58

Problemfinder

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Hallo,

blub ist gut :-) Hab ich mir auch schon öfter gedacht.... Warum dein Smiley mich verprügelt weiß ich allerdings noch nciht :-) Wir haben doch gesagt dass es nur zwei Automorphismen gibt, demnach ist die Aussage doch falsch?

3) Hier kann ich mir doch wieder überlegen dass die Bilder der adjungierten Elemente Sie selbst oder ihr negativex sein können. Damit hab ich wieder 4 Automorphismen (wenn man die Kombinationen durchgeht) Die Aussage wäre also falsch

4) Okay nach Gradsatz ist der Erweiterungsgrad also 8. Wir können doch jetzt betrachten: Die IDentität, dann der, der 0,1 festlässt und t auf t+1 schickt, der der t auf t^2 schickt, der der t auf t^2+1 schickt....etc. damit hab ich doch schon mehr als drei und die Aussage ist falsch?

5)-6) Wieso ist das nicht irreduzibel über Q? Beziehungsweise welchen Grad haben die denn dann?

Danke!

25.01.2009, 17:46

Reksilat

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2) Prügel gibt's, wenn man unverständliche Sachen schreibt. Nicht ernst gemeint, Aufgabe soweit OK.

3) In Ordnung. Man kann sich auch überlegen, dass es zwei verschiedene Automorphismen der Ordnung 2 gibt. in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt es aber nur ein Element der Ordnung 2, ein Widerspruch.

4) Wenn ich Dir den Hinweis gebe, das Polynom $\begin{eqnarray*} x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\in \mathbb{F}_2[x] \end{eqnarray*}$ in irreduzible Faktoren zu zerlegen, dann kannst Du:
a) Diesem Hinweis nachgehen
b) Hoffen, dass jemand mit einer anderen Idee kommt
c) Die Aufgabe sein lassen
d) Deinen Vorschlag von oben nochmal wiederholen, obwohl ich Dir schon gesagt habe, dass nicht immer ein Automorphismus rauskommt. Einen Abbildung, die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} t+1 \end{eqnarray*}$ abbildet, wird z.B. kein Automorphismus sein können. Das sieht man, wenn man a) gemacht hat.

Du hast Dich gerade für d) entschieden, nimm jetzt mal was anderes.

5)+6) $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und zerfällt also zumindest in $\begin{eqnarray*} (x-1)(x^{k-1}+\ldots+x+1) \end{eqnarray*}$ . Der Grad ist also höchstens k-1 und es bleibt die Frage, ob der zweite Faktor irreduzibel ist oder nicht.

Schauen wir uns zuerst 6) an: $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ sei eine primitive 6-te Einheitswurzel, also $\begin{eqnarray*} \xi^6=1 \end{eqnarray*}$ .
Frage: können wir außer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ noch weitere Elemente finden, die die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^6-1=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen? Insgesamt gibt es schließlich sechs verschiedene Nullstellen dieses Polynoms (es gibt keine mehrfachen Nst, da diese ja sonst als Nst der Ableitung auftauchen müssten).

25.01.2009, 21:43

Problemfinder

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Hallo und erstmal 1000 dank für deine Geduld...die smiley prügel hab ich aufgrund von schreibfaulheit ja auch verdient :-)

um deine geduld nicht weiter zu strapazieren werd ich erst nochmal in ruhe an der 4) rumbasteln, bevor ich noch was dummes dazu sage....und erstmal in ruhe deinem Hinweis nachgehen...

zur 5)6) Also bei der 6 würd ich als Nullstellen tippen
$\begin{eqnarray*} 1;-1;\xi ;-\xi; \end{eqnarray*}$

da es ja sechs gibt würd ich weiter tippen:
$\begin{eqnarray*} \xi ^2 \ und \ -\xi ^2 \end{eqnarray*}$

Was kann ich allerdings jetzt hieraus schließen? Das der Grad der Erweiterung 6 ist?

Danke nochmal

26.01.2009, 00:08

Reksilat

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Ich habe ja oben bereits erklärt, warum der Erweiterungsgrad kleiner als 6 sein muss, es geht ja schließlich um den Grad des Minimalpolynoms von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und dieses muss ja irreduzibel sein.
$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^5+\ldots+x+1 \end{eqnarray*}$ und wenn dieses Polynom irreduzibel wäre, dann wäre der Erweiterungsgrad genau 5. Soweit klar?

Nun haben wir aber die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^6-1=(x-1)(x^5+\ldots+x+1) \end{eqnarray*}$ ermittelt und damit lässt sich jetzt eine Aussage über die Irreduziblität treffen.

26.01.2009, 19:44

Problemfinder

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Hi,

da $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^5+...+x+1 \end{eqnarray*}$ ist kann ich es doch hier auch wieder rausteilen: $\begin{eqnarray*} x^6-1=(x-1)(x-\xi)... \end{eqnarray*}$ sprich das Polynom ist nicht irreduzibel, sprich der Grad ist nicht genau 5, sprich die Aussage $\begin{eqnarray*} Aut_\mathbb Q (\mathbb Q (e^{2\pi i /6})) \simeq \mathbb Z /5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist falsch....?

Entweder ich habs jetzt oder ich glaub ich werd endgültig verprügelt Forum Kloppe

Forum Kloppe

Vielen Dank für deine Geduld!

26.01.2009, 21:05

Reksilat

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Dann setz' mal besser einen Helm auf, denn das war es nicht.

Es geht ja um die Irreduziblität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist nicht rational, das Polynom $\begin{eqnarray*} x-\xi \end{eqnarray*}$ liegt also nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ . (Über dem algebraischen Abschluß allerdings, zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren). Schau Dir lieber mal die anderen Nullstellen an.

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