Differentialformen

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23.01.2009, 14:42	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialformen Hallo miteinander, gegeben ist eine Differentailform $\begin{eqnarray} \alpha \in \Omega^1(\mathbb R ^2 / \{0\}) \end{eqnarray}$ (soll R ohne Null heißen) mit $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{-y}{x^2+y^2}dx+ \frac{x}{x^2+y^2}dy \end{eqnarray}$ . Meine erste Frage: Was bedeutet dx und dy in dem Ausdruck? sollen das die dualen Einheitsvektoren sein? Weil eigentlich müsste das Bild eines Punktes (x,y) nach Anwendung von alpha doch einen Zeilvektor mit zwei Einträgen ergeben, oder? Ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} d\alpha=0 \end{eqnarray}$ . Allerdings ist d nicht näher bestimmt. Soll es das totale Differential sein? Aber dann erhielt ich doch aus meinem Zeilenvektor alpha(x,y) eine von x und y abhängige Jacobimatrix, die nicht unbedingt gleich null ist. Also kann die vermutlich nicht damit gemeint sein. Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte, was ich konkret tun soll und wie d genau aussieht (Abbildung von wo nach wo...). Danke schon mal
23.01.2009, 15:16	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, du hast etwas falsch verstanden. Eine 1-Form (das bedeuted die 1 über dem Omega) ist lediglich eine lineare Abbildung von den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit (in deinem Fall R²\{0}) über einem Punkt nach R. Eine allgemeine k-Form ist eine lineare Abbildung von den Tangentialraum über einen Punkt zur k-ten Potenz die dazu noch alternierend ist. Und das d ist eine Verallgemeinerung des totalen Differentials auf Differentialformen. Es bildet im allgemeinen eine k-Form auf eine k+1 Form ab. Dieses d hat die Eigenschaft, dass die Komposition mit sich selbst immer gleich null ist. Mit Komposition meine ich, wenn eine k Form zuerst mit d auf eine k+1 Form abgebildet wird und dann mit d auf eine k+2 Form abgebildet wird. D.h. anstatt zu zeigen, dass das Bild unter d gleich null ist, kannst du zeigen, dass deine 1 Form d von einer 0 Form ist. (Eine 0 Form ist lediglich eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion auf der Mannigfaltigkeit, in deinem Fall R²\{0}) Ich hoffe, ich habe mich ungefähr verständlich ausgedrückt, ansonsten frag einfach nach. Ach ja, wenn du noch weitere Fragen hast, schreib noch bitte in welchen Kontext du dieser Aufgabe begegnet bist.
23.01.2009, 16:47	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe. Ich soll also eine Funktion finden, deren totales Differential gleich alpha ist, richtig? Aber was bedeuten nun dx und dy? deine Erklärung, was mein alpha sein soll, habe ich allerdings nicht so recht verstanden. was meinst du denn mit Tangentialebene; ich habe diesen Begriff noch nicht gehört. Kannst du mir vielleicht ein Beispiel für ein Element aus Omega^1 und eines aus Omega^2 geben?
23.01.2009, 17:09	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
aber was mache ich, wenn alpha nicht exakt ist? Dann ist diese Vorgehensweise, also die Suche nach einer Stammfunktion doch zum Scheitern verurteilt. Dann muss das Problem doch auf anderem Wege gelöst werden oder? (und ich glaube, dass alpha wirklich nicht exakt ist)
23.01.2009, 17:22	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal bitte, mit welcher Vorlesung diese Aufgabe verbunden ist. Bzw. eure Definition von Differentialform. Es gibt viele Möglichkeiten, wie man eine Differentialform interpretieren kann, deswegen muss ich wissen, wie ihr eine Differentialform eingeführ habt. In einem Satz ausgedrückt: dx ist die duale Basis von der Ableitung nach x. dx ist das Differential der Abbildung: R²\{0} -> R (s,t) -> s Und dx verhält sich folgendermaßen: dx(Ableitung nach x)=1 dx(Ableitung nach y)=0 und linear. Je nachdem, wie ihr Differentialform definiert habt, könnte die Beschreibung oben hilfreich sein, oder auch nicht.
23.01.2009, 18:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer sich mit Funktionentheorie beschäftigt hat, erkennt in $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ den Imaginärteil der komplexen Differentialform $\begin{eqnarray} \frac{\dd z}{z} \end{eqnarray}$ . Diese ist nun bekanntermaßen nicht global exakt. Die Suche nach einer Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} dF = \alpha \end{eqnarray}$ dürfte also nicht gelingen, zumindest nicht global für die ganze im Nullpunkt gelochte Ebene. Irgendwo habt ihr doch sicher die äußere Ableitung $\begin{eqnarray} \dd \end{eqnarray}$ definiert. Ich würde mich streng an die dort angegebenen Regeln halten, um $\begin{eqnarray} \dd \alpha \end{eqnarray}$ zu berechnen.
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23.01.2009, 20:22	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
die aufgabe ist im rahmen einer analysis3-vorlesung gestellt worden. für Funktionen haben wir d als totale Ableitung definiert, für höhere k-Formen rekursiv durch die Produkt/Leibnitz-Regel (falls ich das richtig verstanden habe). außerdem haben wir noch d^2=0 gefordert - wie du schon gesagt hast - und schließlich die Natürlichkeit.
24.01.2009, 00:41	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... könntest du das genauer erklären? Ich sehe nämlich gerade nicht, wie man d rekursiv durch Produktregel erklären kann. Vielleicht kann dir auch Leopold weiterhelfen, der anscheinend d in einem ähnlichen Kontext begegnet ist.
24.01.2009, 08:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. $\begin{eqnarray} \dd \end{eqnarray}$ ist linear: $\begin{eqnarray} \dd (\alpha + \beta) = \dd \alpha + \dd \beta \end{eqnarray}$ für Differentialformen $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dd \left( r \alpha \right) = r ~ \dd \alpha \end{eqnarray}$ für reelle $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und Differentialformen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ 2. Für $\begin{eqnarray} \alpha = f ~ \dd x \wedge \dd y \wedge \ldots \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ vom Grad 0, also eine Funktion ist, gilt: $\begin{eqnarray} \dd \left( f~\dd x \wedge \dd y \wedge \ldots \right) = \dd f \wedge \dd x \wedge \dd y \wedge \ldots \end{eqnarray}$ 3. Für Differentialformen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ vom Grad 0, also Funktionen, gilt: $\begin{eqnarray} \dd f = \frac{\partial f}{\partial x}~\dd x + \frac{\partial f}{\partial y}~\dd y + \ldots \end{eqnarray}$ Dabei darf man mit $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ distributiv bezüglich $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ rechnen. Beim Vertauschen zweier Faktoren ändert das Dachprodukt das Vorzeichen und bei gleichen Faktoren verschwindet es. Und hier beginnst du mit der Linearität $\begin{eqnarray} \dd \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}~\dd x + \frac{x}{x^2 + y^2}~\dd y \right) = \dd \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}~\dd x \right) + \dd \left( \frac{x}{x^2 + y^2}~\dd y \right) \end{eqnarray}$ Auf jeden der Summanden kannst du nun die Regel 2. anwenden. Und dann auf jede der Funktionen die Regel 3. Am Schluß multipliziere aus und beachte: $\begin{eqnarray} \dd x \wedge \dd x = \dd y \wedge \dd y = 0 \, , \ \ \dd y \wedge \dd x = - ~\dd x \wedge \dd y \end{eqnarray}$
24.01.2009, 16:48	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold, ich erhalte dann $\begin{eqnarray} (\frac{y^2-x^2+2xy}{y^2+x^2})\wedge dx + (\frac{y^2-x^2-2xy}{y^2+x^2})\wedge dy \end{eqnarray}$ . Darf ich das nun einfach auseinanderziehen zu $\begin{eqnarray} (\frac{y^2-x^2}{y^2+x^2})\wedge (dx+dy) + (\frac{-2xy}{y^2+x^2})\wedge dy +(\frac{2xy}{y^2+x^2})\wedge dx \end{eqnarray}$ ? Und was bedeutet das dx bzw. dy nun eigentlich? Die totale Ableitung der Koordinatenfunktion (x,y)->x (bzw.y)? Ich stelle mich wahrscheinlich ziemlich blöd an, aber ich weiß immer noch nicht so recht, wie ich das ausmultiplizieren könnte.
25.01.2009, 02:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. Du hast 2. und 3. falsch angewendet. Ich zeige dir das einmal beim ersten Summanden. Mit 2. folgt zunächst $\begin{eqnarray} \dd \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}~\dd x \right) = \dd \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right) \wedge \dd x \end{eqnarray}$ Und jetzt geht es mit 3. weiter: $\begin{eqnarray} \left( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)~\dd x + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)~\dd y \right) \wedge \dd x \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt das Dachprodukt ausmultipliziert, entsteht beim ersten Summanden $\begin{eqnarray} \dd x \wedge \dd x = 0 \end{eqnarray}$ . Er verschwindet daher, so daß nur noch der zweite Summand übrig bleibt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{x^2 + y^2} \right)~\dd y \wedge \dd x = \frac{-x^2 + y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}~\dd y \wedge \dd x = \frac{x^2 - y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}~\dd x \wedge \dd y \end{eqnarray}$ Und jetzt berechne du den zweiten Summanden.
25.01.2009, 14:16	Hans87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold, ich habe bei der Bildung der totalen Ableitung einen Fehler gemacht (habe immer das dx bzw. dy hinter den partiellen Ableitungen vergessen. Wenn ich nun den zweiten Summenden ausrechne, so erhalte ich ((y²-x²)/(x²-y²)²)dx^dy, also genau das Negative des ersten Summandens und folglich als Gesamtsumme 0.

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