Extremwertproblem

23.01.2009, 18:10

gartenzwerg

Extremwertproblem

Hey,
steh mal wieder vor einem ?
Wär klasse wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Bei einer zylindrischen Dose mit dem Volumen 330 ml (Cola-Dose) soll der Materialbedarf für die Verpackung möglichst gering gehalten werden.
-> Radius und Höhe der optimalen Dose berechnen

1. Die Oberfläche der Dose soll minimiert werden.
2. Klärung der Variblen: r: Radius der Dose, h: Höhe der Dose
3. Hauptbedingung:
$\begin{eqnarray*} A(r,h) = 2\pi r*h+2\pi r² \end{eqnarray*}$
4. Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} V = G*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \pi*r²*h \end{eqnarray*}$
5. Zielfunktion
5.1. NB nach h auflösen und in die HB einsetzen
- so hier hängts, denn wenn ich nach h auflöse, kommt V ins Spiel...

Was muss ich tun? Bin für jede Hilfe dankbar.
LG

23.01.2009, 18:13

IfindU

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RE: Extremwertproblem
Du wirst doch das Volumen nach h auflösen können - und V ist gegeben mit 330ml.

23.01.2009, 18:15

gartenzwerg

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RE: Extremwertproblem
ich erbitte einen fratzenklatsch^^

23.01.2009, 19:27

gartenzwerg

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RE: Extremwertproblem
So. Habe jetzt eine Extremstelle gefunden.
r ist wohlgerundet 10,25

Bin jetzt auf der Suche nach der Einheit. Da das Volumen in ml angeben ist, handelt es sich dann um 10,24 mm?
Tschuldigung falls ich wieder eine bekloppte Frage stelle Wink

23.01.2009, 19:34

IfindU

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RE: Extremwertproblem
1 Liter entspricht 1dm^3, ich vertrau darauf dass du es selbst entsprechend umformen kannst Augenzwinkern

23.01.2009, 19:41

gartenzwerg

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RE: Extremwertproblem
ähm. verwirrt

halte dein vertrauen bitte in Grenzen unglücklich

23.01.2009, 19:56

IfindU

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RE: Extremwertproblem
(Ich verwende für entspricht mal ein einfaches gleich)

1 Liter = 1dm^3 >> 1dm = 100mm und 1 Liter = 1000ml
1000ml = (100mm)^3
1000ml = 1.000.000 mm^3 oder 10^6 mm^3
1ml sind als 1000mm^3

23.01.2009, 20:00

gartenzwerg

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RE: Extremwertproblem
Ja und was bedeutet dies für meine nichtwissenheit der Einheit von 10,25

23.01.2009, 20:04

IfindU

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RE: Extremwertproblem
Normalerweise setzt man statt den 330ml 330*1000mm^3 ein, damit hast du später kein Problem mit den Einheiten. Ohne Rechenweg kann ich dir leider auch nicht mit Sicherheit sagen welche Einheit es haben wird.
Du kannst ja schätzen wenn du keine Lust hast: 10dm wäre viel zu viel, 10cm als Radius (20cm Durchmesser) wohl auch, also 10mm, wobei das bisschen klein wär; aber ob das wirklich das ist?

23.01.2009, 20:07

gartenzwerg

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RE: Extremwertproblem
Ich kann ja mal versuchen mein Blatt zu scannen.
Da es sich jedoch um den Radius handelt, is 10,25 mm angebracht, da ich mir nicht vorstellen kann, dass ein Hersteller 0,33 l Cola in eine Dose schüttet, die einen Durchmesser von 20,5 cm hat.

23.01.2009, 21:48

mYthos

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Erstens: Das Herumrechnen mit den Einheiten bzw. deren Umwandlung ist gar nicht notwendig, wenn du bei Milliliter bleibst und diese mit der Einheit cm verbindest (denn 1 ml = 1 cm3).
Wenn du also mit 330 rechnest, ist das Resultat in cm. So einfach ist das.

Zweitens:

Deine Rechnung musst du offensichtlich werfen, denn das Ergebnis ist falsch. Richtig lautet der Radius r = rd. 3,745 cm bzw. der Durchmesser der Dose rd. 7,5 cm.

Die Funktion, die du letztendlich abzuleiten und Null zu setzen hast, lautet

$\begin{eqnarray*} f(r) = r^2 - \frac{330}{r \pi} \end{eqnarray*}$

mY+

25.01.2009, 20:15

gartenzwerg

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Also für h hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{330}{\pi r²} \end{eqnarray*}$

Danach setze ich H in die ZF ein:

$\begin{eqnarray*} A(r) = 2\pi r (\frac{330}{\pi r²}) + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(r) = \frac{2\pi r*330}{\pi r²}+2\pi r² \end{eqnarray*}$

OMG wie lös ich das jetzt auf? da liegt der fehler.
ich hab dann $\begin{eqnarray*} \frac{660}{r} + 2\pi r² \end{eqnarray*}$ raus.

/edit klammer zu

25.01.2009, 21:25

gartenzwerg

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Also wenn $\begin{eqnarray*} \frac{660}{r}+2\pi r² \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt die Ableitung bilden.
Wegen des Bruchen hab ichs umgeschrieben in:

$\begin{eqnarray*} -660r^(-1) + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

Oh ich glaube ich hab bei meiner Rechung das letzte ^2 vergessen. Ich rechne es schnell nochma durch.

25.01.2009, 21:27

sulo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(r) = 2\pi r (\frac{330}{\pi r²}) + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(r) = \frac{2\pi r*330}{\pi r²}+2\pi r² \end{eqnarray*}$

Soweit ist es richtig. Freude

Jetzt musst Du es vereinfachen und dann ableiten.

25.01.2009, 21:29

sulo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 660r^{-1} + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

Soweit ist die Vereinfachung richtig, allerdings ohne ein Minus vor der 660, meine ich. (Woher hast Du die?)

25.01.2009, 21:29

gartenzwerg

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$\begin{eqnarray*} A'(r)= -660r^-² +4 \pi r = 0 \end{eqnarray*}$

shit wie kann ich das jetzt vereinfachen?

25.01.2009, 21:35

sulo

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Ich kann das nicht lesen ... Augenzwinkern

Was Du jetzt machen musst, ist ableiten. A'(r) von

$\begin{eqnarray*} A(r) = 660r^{-1} + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

25.01.2009, 21:39

gartenzwerg

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ja tschuldigung, das was ich eben nullgestellt habe war die Ableitung und die hab ich nullstellenwollen, weiß jetzt aber nich wie ich auf meine Nullstellen komme, da mich das hoch -2 verwirrt

25.01.2009, 21:40

sulo

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Schreib doch mal auf, was Du gerechnet hast Augenzwinkern

25.01.2009, 21:43

gartenzwerg

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$\begin{eqnarray*} A(r) = 660r^-1 + 2\pi r² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(r) = -660r^-² +4 \pi r \end{eqnarray*}$

Ableitung Nullstellen
$\begin{eqnarray*} A'(r) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -660r^-² +4 \pi r \end{eqnarray*}$ = 0

So jetzt muss ich was ausklammern, bin aber vom -exponent verwirrt

25.01.2009, 21:46

IfindU

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Zitat:

Original von gartenzwerg
$\begin{eqnarray*} A(r) = 660r^{-1} + 2\pi r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(r) = -660r^{-2} +4 \pi r \end{eqnarray*}$

Ableitung Nullstellen
$\begin{eqnarray*} A'(r) = -660r^{-2} +4 \pi r \end{eqnarray*}$ = 0

So jetzt muss ich was ausklammern, bin aber vom -exponent verwirrt

Multiplizier einfach mit r^2.

25.01.2009, 21:49

gartenzwerg

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=> $\begin{eqnarray*} -660r+4 \pi r² = 0 \end{eqnarray*}$ ???

25.01.2009, 21:50

sulo

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So, ich rette mal Deinen Text:

$\begin{eqnarray*} A'(r) = -660r^{-2} +4 \pi r \end{eqnarray*}$

Setze A'(r) = 0

Dann bringe $\begin{eqnarray*} -660r^{-2} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite der Gleichung

PS: Du solltest keine Hochzeichen verwenden sondern so schreiben :^{-2}

25.01.2009, 21:51

sulo

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edit: hatte was falsch gesehen ....

25.01.2009, 21:53

gartenzwerg

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r1 = 0
r2 = $\begin{eqnarray*} \frac{165}{\pi} \end{eqnarray*}$

schon wieder was falsch unglücklich

25.01.2009, 21:53

IfindU

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Wenn das wirklich $\begin{eqnarray*} r^{-2} \end{eqnarray*}$ ist, bringt das multiplizieren mit r es zu $\begin{eqnarray*} r^{-1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Du musst es mit $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

25.01.2009, 21:55

sulo

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@IfindU

Das läuft ganz gut mit mir und gartenzwerg. Wäre sinnvoll, wenn Du nicht dauernd dazuwischen gehen würdest

25.01.2009, 21:57

sulo

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@ gartenzwerg: wollen wir weiter machen?
Also nochmal: wir hatten:

$\begin{eqnarray*} 0 = -660r^{-2} +4 \pi r \end{eqnarray*}$

Mache da mal weiter, denn das was Du gerechnet hast, stimmt leider nicht ...

25.01.2009, 22:00

IfindU

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Zitat:

Original von sulo
@IfindU
böse

Das läuft ganz gut mit mir und gartenzwerg. Wäre sinnvoll, wenn Du nicht dauernd dazuwischen gehen würdest

Ich würde es nicht machen, wenn gartenzwerg nicht was falsches schreiben und du es bestätigen würdest.

25.01.2009, 22:01

sulo

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Und wo ist der Fehler?

25.01.2009, 22:02

gartenzwerg

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also isses $\begin{eqnarray*} -660r+ 4 \pi r^4 = 0 \end{eqnarray*}$

25.01.2009, 22:04

IfindU

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Zitat:

Original von gartenzwerg
=> $\begin{eqnarray*} -660r+4 \pi r² = 0 \end{eqnarray*}$ ???

Zitat:

Original von sulo
Und wo ist der Fehler?

Darunter stand ein fettes: Bingo deinerseits (da wo nun inzwischen 2 mal editiert drunter steht). Außerdem hab ich angefangen mich um den Thread zu kümmern, du hattest dich eingemischt - also verzeih mir dass ich ihn immernoch etwas im Überblick behalte.

25.01.2009, 22:09

sulo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} -660r+ 4 \pi r^4 = 0 \end{eqnarray*}$

Wie kommst Du jetzt auf die ^4 ? unglücklich

$\begin{eqnarray*} 0 = -660r^{-2} +4 \pi r \end{eqnarray*}$

Das hatte ich Dir doch geschrieben. Bitte mach da weiter, ja?

@ IfindU

Zitat:

Zitat: Original von gartenzwerg =>
$\begin{eqnarray*} -660r+4 \pi r² = 0 \end{eqnarray*}$ ??? Darunter stand ein fettes: Bingo deinerseits (da wo nun inzwischen 2 mal editiert drunter steht).

Das hatte ich gleich wieder entfernt, weil ich gemerkt habe, dass ich mich verlesen hatte und habe das auch so hingeschrieben

Zitat:

Außerdem hab ich angefangen mich um den Thread zu kümmern, du hattest dich eingemischt - also verzeih mir dass ich ihn immernoch etwas im Überblick behalte.

Ich habe mich nicht eingemischt, ich bin von gartenzwerg über einen anderen Thread auf diesen hin eingeladen worden, weil sich auf diesem nichts tat!

25.01.2009, 22:09

gartenzwerg

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so komm ich auch auf ca. 3,75 juchhe smile

dankeschön
jetzt noch schnell h ausrechnen... oh

25.01.2009, 22:11

sulo

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Zitat:

so komm ich auch auf ca. 3,75

Stimmt doch nicht, leider ....

25.01.2009, 22:14

gartenzwerg

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h is mit gerundeten wertet (gleich rechne ichs nochma mit den richtigen zahlen)ca. 7,46 cm
Ist das korrekt?
Bitte streitet euch nich wegen mir Lehrer

25.01.2009, 22:18

sulo

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h = 7,4896 cm

25.01.2009, 22:22

gartenzwerg

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Ich sag ja,dass ich mit gerundeten Werten gerechnet habe.
Ich bedanke mich rechtherzlich für die Aufmerksamkeit =)
Für den Rest sind meine Freistunden zuständig smile

25.01.2009, 22:52

gartenzwerg

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Aber r mit ca 3,75 ist doch ein maximum...

26.01.2009, 10:09

sulo

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Hi gartenzwerg,
Ich habe es nochmal durchgerechnet und und kann Deine Lösung (r = 3,745 cm) bestätigen. Stand auch schon gestern auf meinem Blatt ... Ich weiß nicht, was ich da gesehen habe ... Andernfalls hätte unser h ja auch nicht übereinstimmen können Augenzwinkern

Jedenfalls schreibe ich jetzt noch mal den Rechenweg auf, um alle Unklarheiten zu beseitigen (Auch wenn es mir ziemlich Kopfzerbrechen macht, dass Mythos geschrieben hat:

Zitat:

Die Funktion, die du letztendlich abzuleiten und Null zu setzen hast, lautet $\begin{eqnarray*} f(r) = r^2 - \frac{330}{r \pi} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich das berechne, komme ich auf einen negativen Radius ... verwirrt

)

Also hier nun meine vollständige (hoffentlich richtige) Rechnung:

Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} A(r,h) = 2\pi r*h+2\pi r² \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} V = G\cdot h = \pi\cdot r²\cdot h = 330 ml =330 cm^3 \end{eqnarray*}$

Es folgt: $\begin{eqnarray*} h= \frac{330 }{\pi\cdot r²} \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen erhält man: $\begin{eqnarray*} A(r) = 2\pi r\cdot\frac{330 }{\pi\cdot r²}+2\pi r² \end{eqnarray*}$

Vereinfachen: $\begin{eqnarray*} A(r) = \frac{660 }{r}+2\pi r²= 660 \cdot r^{-1}+2\pi r² \end{eqnarray*}$

Jetzt Ableiten: $\begin{eqnarray*} A'(r) = (-1)\cdot 660 \cdot r^{-2}+4\pi r \end{eqnarray*}$

Weil Max. gesucht wird, $\begin{eqnarray*} A'(r) = 0 \end{eqnarray*}$ setzen: $\begin{eqnarray*} 0 = - 660 \cdot r^{-2}+4\pi r \end{eqnarray*}$

Umformen: $\begin{eqnarray*} 660 \cdot r^{-2}= 4\pi r \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \cdot\frac{r^2}{4\pi } \end{eqnarray*}$

Und nach r auflösen: $\begin{eqnarray*} \frac{660}{4\pi } = r^3 \end{eqnarray*}$

Und voilà: $\begin{eqnarray*} r= \sqrt[3]{\frac{660}{4\pi }} = 3,7449... \end{eqnarray*}$

Lieben Gruß, sulo

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