Folgen in komplexen Zahlen

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Steffen001 Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen in komplexen Zahlen
Hallo,

bin derzeit ziemlich im Streß und muss bis morgen noch eine Aufgabe rechnen, die ich nicht hinbekomme.
Vielleicht kann mir jemand von euch helfen, das wäre super:

a) Zeigen Sie: Ist , so ist eine Nullfolge im Fall |z|<1, sowie unbeschränkt, also divergent, im Fall |z|>1.

b) Für r>0 sei. Berechnen Sie für n=2,3,4,5 und skizzieren Sie z und diese Punkte für r=2.
Bestimmen Sie alle r>0, für diekonvergiert.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

a) Was weisst du über den Betrag |z^n|?

b) Weisst du nicht, wie du z^2, z^3 etc. bestimmen sollst (z*z, z*z*z, ...), oder wie du sie skizzieren sollst?
Um r zu bestimmen, so dass (z^n) konvergiert, bestimmst du |z| in Abhängigkeit von r und benutzt Teil a).
Steffen001 Auf diesen Beitrag antworten »

a) |z^n| = |(x²+y²)^n| < 1
folgt daraus schon, dass es eine Nullfolge ist? Logisch erscheint mir das schon, nur weiß ich nicht, ob das als Beweis genügt.
Entsprechende auch die Divergenz bei |z|>1.

b) Ich glaub ich bekomm b doch hin.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

a) Fast: Ist z = x + iy, dann ist |z| = sqrt(x^2 + y^2). Wichtig ist hier die Formel |z^n| = |z|^n. Aus der folgt |z^n| = |z|^n = (sqrt(x^2+y^2))^n.
Mit der siehst du sofort: Wenn |z| < 1 ist, dann bilden die Beträge |z^n| = |z|^n eine Nullfolge.
Umgekehrt siehst du: Ist |z| > 1, dann werden die Beträge |z^n| = |z|^n immer größer, größer als jede reelle Zahl - die Folge (z^n) ist unbeschränkt.

b) Gut smile
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