Konvergente Folge auch absolut konvergent

23.01.2009, 19:06

koeffizient

Konvergente Folge auch absolut konvergent

Hallo!

Ich soll feststellen, ob absolut konvergente Folgen auch konvergent sind.

Ich denke jedoch, dass es genau umgekehrt sein muss.

Eine Folge a_n ist genau dann konvergent wenn sie Cauchyfolge ist. Wenn also gilt

$\begin{eqnarray*} \mid a_n-a_m \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Die Folge der Beträge $\begin{eqnarray*} \mid a_n \mid \end{eqnarray*}$ ist ebenso genau dann konvergent wenn sie Cauchyfolge ist wenn also gilt:

$\begin{eqnarray*} \mid \mid a_n \mid -\mid a_m \mid \mid < \epsilon\ \end{eqnarray*}$

Es gilt jedoch:

$\begin{eqnarray*} \mid \mid a_n \mid -\mid a_m \mid \mid\leq \mid a_n-a_m \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Also ist jede konvergente Folge auch absolut konvergent, eine absolut konvergent Folge jedoch nicht notwendigerweise konvergent.

Stimmt das so, oder habe ich irgendwo einen Logikfehler?

LG Augenzwinkern

23.01.2009, 19:17

Sly

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du hast einen logikfehler.

absolute konvergenz bezieht sich ausschließlich auf Reihen, also Folgen der Form $\begin{eqnarray*} s_n=\sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$

Dort lautet das Cauchykriterium ja gerade (kurz)
$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=m}^n a_i\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Und wegen Dreiecksungleichung gilt weiterhin
$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{i=m}^n a_i\right|\leq \sum_{i=m}^n |a_i| \end{eqnarray*}$

23.01.2009, 19:25

koeffizient

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Konvergente Folge und Folge der Beträge
Hallo Sly!

Danke für deine schnelle Hilfe und die Erklärung zu den Reihen.

ich habe schon die Folgen gemeint mich aber vermutlich unsauber ausgedrückt.

Meine Frage ist, ob aus der Konvergenz der Beträge der Folge a_n, (der Begriff absolute Konvergenz war hier wohl fehl am Platz) die Konvergenz der Folge a_n resultiert oder nicht.

Ich denke laut meiner Rechnung folgt aus der Konvergenz der Folge a_n dass die Folge der Beträge der a_n konvergent ist.

Ich hoffe meine Frage ist nun verständlich.

LG Augenzwinkern

24.01.2009, 06:38

WebFritzi

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RE: Konvergente Folge auch absolut konvergent

Zitat:

Original von koeffizient
Also ist jede konvergente Folge auch absolut konvergent, eine absolut konvergent Folge jedoch nicht notwendigerweise konvergent.

Stimmt das so, oder habe ich irgendwo einen Logikfehler?

Ja, das stimmt so. Für die zweite Behauptung brauchst du allerdings noch ein Gegenbeispiel.

24.01.2009, 09:48

koeffizient

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Konvergente Folge und Folge der Beträge
Danke Webfritzi!

Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
ist Divergent - Häufungswerte (-1,1)

$\begin{eqnarray*} \mid a_n \mid = 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Die Folge der Beträge ist konvergent und geht gegen 1

LG Augenzwinkern

25.01.2009, 15:15

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} |a_n|=1+\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ !

Die einfachere Folge $\begin{eqnarray*} b_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ hätte es auch getan und nicht solche Fehlerquellen beinhaltet. ; )

25.01.2009, 18:40

koeffizient

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Wirklich ein blöder Fehler! Hammer

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Konvergente Folge auch absolut konvergent

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